Question

在xoy 平面第Ⅰ、Ⅱ象限中，存在沿y轴负方向的匀强电场，场强为E=

πBl

3t

，在第Ⅲ、Ⅳ象限中，存在垂直于xoy平面方向如图所示的匀强磁场，磁感应强度B₂=2B₁=2B，带电粒子a、b先后从第Ⅰ、Ⅱ象限的P、Q两点（图中没有标出）由静止释放，结果两粒子同时进入匀强磁场B₁、B₂中，再经过时间t第一次经过y轴时恰在点M（0，-

3

l）处发生正碰（即碰前两粒子速度方向相反），碰撞前带电粒子b的速度方向与y 轴正方向成60°角，不计粒子重力和两粒子间相互作用．求：
（1）两带电粒子的比荷及在磁场中运动的轨道半径；
（2）带电粒子释放的位置P、Q两点坐标及释放的时间差．

Answer 1

分析：做出两粒子的运动轨迹图，两粒子在磁场中运动时间相同，粒子磁场中运动周期T=

2πm

qB

，结合几何关系可求解比荷即轨迹半径；
粒子在电场中由于电场力作用加速运动，在磁场中受洛伦兹力偏转，根据动能定理和洛伦兹力公式可求解纵坐标，根据几何关系苛求横坐标，从而苛求PQ两点的坐标．

解答：解：（1）粒子运动轨迹如图所示，两粒子在磁场中运动时间相等且为t，即t₁=t₂=t
而t₁=

T1

6

=

πm1

3q1B1

，t₂=

T2

3

=

2πm2

3q2B2

代入B₂=2B₁=2B，解得：

q1

m1

=

q2

m2

=

π

3Bt

由几何关系知：R₁=R₂=

3 l

sin60°

=2l

（2）由qvB=

mv2

R

可得：v=

qBR

m

故：v1=

q1B1R1

m1

=

2πl

3t

v2=

q2B2R2

m2

=

4πl

3t

由qEy=

1

2

mv2得：y=

mv2

2qE

故：y₁=

m1 v 2 1

2q1E

=2l
y2=

m2 v 2 2

2q2E

=8l
由图可知，x₁=R-Rcos60°=l
x₂=-（R+Rcos60°）=-3l
故P、Q点的坐标分别为（l，2l）、（-3l，8l）
粒子在磁场中运动的时间为：t=

v

a

其中加速度a=

qE

m

=

π2l

9t2

故两粒子由静止释放的时间差：△t=

9t2

π2l

(v2-v1)=

6t

π

答：（1）两带电粒子的比荷

q1

m1

=

q2

m2

=

π

3Bt

，在磁场中运动的轨道半径R₁=R₂=2l；
（2）带电粒子释放的位置P、Q两点坐标分别为（l，2l）、（-3l，8l），释放的时间差为

6t

π

．

点评：本题为带电粒子在混合场中的运动，关键是做出粒子的运动轨迹图，运用数学方法解决物理问题．