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    3．如图所示，竖直平面内有足够长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L=0.5m，上方连接一个阻值R=1Ω的定值电阻，虚线下方的区域内存在垂直纸面向里的磁感应强度B=2T的匀强磁场．完全相同的两根金属杆M和N靠在导轨上，金属杆的长度与导轨等宽且与导轨接触良好，两金属杆的电阻均为r=0.5Ω．将金属杆M固定在磁场的上边缘（仍在此磁场内），金属杆N从磁场边界上方h0=0.8m处由静止释放，进入磁场后恰好做匀速运动，g取10m/s2．求：
    （1）金属杆的质量m；  
    （2）若金属杆N从磁场边界上方h1=0.2m处由静止释放，进入磁场下落一段距离后做匀速运动．在金属杆N加速的过程中整个回路产生了1.4J的电热，此过程中流过电阻R的电荷量q；
    （3）若金属杆N仍然从磁场边界上方h1=0.2m处由静止释放，在金属杆N进入磁场的同时释放金属杆M，金属杆M和金属杆N在以后的运动过程中，各自的最大速度v1和 v2分别是多大．

    分析 （1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动，由运动学公式求出进入磁场时的速度v，进入磁场后做匀速运动，重力与安培力平衡，由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由安培力公式求出安培力，最后有平衡条件求出m．
    （2）金属杆2进入磁场经过一段时间后开始匀速运动，速度大小仍等于v．根据能量守恒求出h2，由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，最后由电流的定义式求出电量q．
    （3）释放金属杆1后，两杆受力情况相同，且都向下加速运动，合力等于零时速度最大．根据平衡条件得到两杆速度之和．由于两个金属杆任何时刻受力情况相同，任何时刻两者量也相的加速度也都相同，在相同时间内速度的增同，根据速度增量相同，得到速度的关系，联立求解两杆的最大速度．

    解答 解：（1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动，
    进入磁场的速度：vm=$\sqrt{2g{h}_{0}}$=4m/s，
    金属杆2进入磁场后切割磁感线，回路中产生感应电流，
    感应电动势：E=BLvm，感应电流：I=$\frac{E}{R+2r}$，
    金属杆恰做匀速运动，由平衡条件得：mg=BIL，
    解得：m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{（R+2r）g}$=0.2kg；
    （2）金属杆2自由下落h1，进入磁场，做加速运动，设金属杆2在磁场内下降h2后达到匀速运动，
    在加速的过程中，部分机械能转化为电能产生电热，由能量守恒定律得：mg（h1+h2）=$\frac{1}{2}$mvm2+Q，
    解得：h2=$\frac{m{v}_{m}^{2}+2Q}{2mg}$-h1=1.3m，
    金属杆2进入磁场到匀速运动的过程中，感应电动势：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BL{h}_{2}}{△t}$，
    感应电流：I=$\frac{E}{R+2r}$，
    流过电阻的电量：q=I△t=$\frac{BL{h}_{2}}{R+2r}$=0.65C；
    （3）金属杆2刚进入磁场时的速度：v=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=2m/s，
    金属杆2进入磁场同时释放金属杆1后，回路中有感应电流，
    两杆都受安培力和重力，且受力情况相同，都向下做加速运动，
    随速度增大，感应电流增大，安培力增大，直到安培力和重力相等时，速度达到最大．
    金属杆1和2产生的感应电动势为E1=BLv1，E2=BLv2
    感应电流为：I=$\frac{{E}_{1}+{E}_{2}}{R+2r}$，
    达到最大速度时杆的重力等于安培力：mg=BIL
    整理得到：v1+v2=$\frac{mg（R+2r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=4m/s…①
    因为两个金属杆任何时刻受力情况相同，因此任何时刻两者的加速度也都相同，
    在相同时间内速度的增量也必相同，即：v1-0=v2-v，
    代入数据得v2=v1+2…②
    ①②两式联立求出：v1=1m/s，v2=3m/s            
    答：（1）金属杆的质量m为0.2kg．
    （2）流过电阻R的电量q为0.65C．
    （3）两根金属杆各自的最大速度分别是1m/s和3m/s．

    点评 本题是电磁感应与力学知识的综合，第3问关键是抓住两杆的加速度相同，任何时刻速度的增量相同这一隐含的条件分析两杆的速度关系．

    练习册系列答案
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