Question

1．如图所示，有一放射源可以沿轴线ABO方向发射速度大小不同的粒子，粒子质量均为m，带正电荷q．A、B是不加电压且处于关闭状态的两个阀门，阀门后是一对平行极板，两极板间距为d，上极板接地，下极板的电势随时间变化关系如图（b）所示．O处是一与轴线垂直的接收屏，以O为原点，垂直于轴线ABO向上为y轴正方向，不同速度的粒子打在接收屏上对应不同的坐标，其余尺寸见图（a），其中l和t均为己知．己知$\frac{{q{U_0}}}{2dm}{t^2}=\frac{1}{8}$d，不计粒子重力．

（1）某时刻A、B同时开启且不再关闭，有一个速度为v₀=$\frac{2l}{t}$的粒子恰在此时通过A阀门，以阀门开启时刻作为图（b）中的计时零点，试求此粒子打在y轴上的坐标位置（用d表示）．
（2）某时刻A开启，$\frac{t}{2}$后A关闭，又过$\frac{t}{2}$后B开启，再过$\frac{t}{2}$后B也关闭．求能穿过阀门B的粒子的最大速度和最小速度．
（3）在第二问中，若以B开启时刻作为图（b）中的计时零点，试求解上述两类粒子打到接收屏上的y坐标（用d表示）．

Answer 1

分析 （1）据题，A、B间不加电压，粒子在AB间做匀速直线运动．粒子进入平行极板后做类平抛运动，将其运动进行正交分解，由水平方向的匀速运动规律求出粒子通过电场的时间，由牛顿第二定律和运动学公式彁求出粒子在电场中的偏转距离和偏转角度．粒子离开电场后做匀速直线运动，由数学知识求解此粒子打在y轴上的坐标位置y．
（2）能穿过阀门B的最短时间为$\frac{t}{2}$，对应最大速度v_max=$\frac{l}{{\frac{t}{2}}}$；能穿过阀门B的最长时间为$\frac{3}{2}$t，对应最小速度 v_min=$\frac{l}{{\frac{3t}{2}}}$．
（3）运用第1问相似的方法求解两类粒子打到接收屏上的y坐标．

解答 解：（1）设经时间t₀进入偏转电场 t₀=$\frac{2l}{v_0}$=t，
即在t时刻进入偏转电场，在电场中的运动时间 t₁=$\frac{t}{2}$偏转电场中的加速度 a=$\frac{{2q{U_0}}}{dm}$，
离开电场时的偏转距离为 y₁=$\frac{1}{2}at_1^2$，得：y₁=$\frac{d}{16}$；
离开时电场的偏转角 tanθ=$\frac{{a{t_1}}}{v_0}$，
从出偏转电场到打到屏上偏转距离 y₂=ltanθ
则 y=y₁+y₂ 得：y=$\frac{3}{16}$d；
（2）能穿过阀门B的最短时间为$\frac{t}{2}$，对应最大速度v_max=$\frac{l}{{\frac{t}{2}}}$=$\frac{2l}{t}$；
能穿过阀门B的最长时间为$\frac{3}{2}$t，对应最小速度 v_min=$\frac{l}{{\frac{3t}{2}}}$=$\frac{2l}{3t}$；
（3）速度最大的粒子将在0时刻出阀门B，$\frac{t}{2}$时刻进入偏转电场，
故其偏转距离与第（1）问相同，打在y轴上的坐标为$\frac{3}{16}$d，
速度最小的粒子将在$\frac{t}{2}$时刻出阀门B，2t时刻进入偏转电场，
先向下偏转时间t，a₁=$\frac{{q{U_0}}}{dm}$，
y′₁=$\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$，
再向下偏转（减速）$\frac{t}{2}$出电场时恰好速度水平，
a₂=$\frac{{2q{U_0}}}{dm}$，
则得：y′₂=$\frac{1}{2}{a_2}{（\frac{t}{2}）^2}$
所以可得 y′=y′₁+y′₂=-$\frac{3}{16}$d，即两个坐标分别为$\frac{3}{16}$d，-$\frac{3}{16}$d；
答：（1）此粒子打在y轴上的坐标位置为$\frac{3}{16}$d．
（2）能穿过阀门B的粒子的最大速度为$\frac{2l}{t}$，最小速度为$\frac{2l}{3t}$．
（3）上述两类粒子打到接收屏上的y坐标为（$\frac{3}{16}$d，-$\frac{3}{16}$d）．

点评 本题带电粒子先偏转后匀速的类型，关键要分析粒子的运动情况，对类平抛运动会进行分解，结合几何知识进行求解．