Question

【题目】如图所示，两根固定的光滑的绝缘导轨水平部分与倾斜部分平滑连接，两导轨间距为L=0.8m，导轨的倾斜部分与水平面成α=30°角，导轨的倾斜部分有一个匀强磁场区域abcd，磁场方向垂直于斜面向上，导轨的水平部分在距离斜面底端足够远处有两个匀强磁场区域，磁场方向竖直且相反，所有磁场的磁感应强度大小均为B=1T，每个磁场区沿导轨的长度均为L=0.8m，磁场左、右两侧边界均与导轨垂直。现有一质量为m=0.8kg，电阻为r=0.2Ω，边长也为L的正方形金属线框PQMN，从倾斜导轨上由静止释放，金属线框在MN边刚滑进磁场abcd时恰好做匀速直线运动，此后，金属线框从导轨的倾斜部分滑上水平部分，整个过程线框的QM边、PN边与导轨保持良好接触，重力加速度g取10m/s2：

(1)求金属线框在MN边刚滑进磁场abcd时的速度大小；

(2)可调节cd边界到水平导轨的高度，使得线框刚进入水平磁场区时速度大小为8m/s，求金属线框在MN边刚滑进第二个磁场区域（即磁场方向竖直向下的区域）时速度的大小；

(3)若导轨的水平部分有多个长度均为L且相邻磁场方向相反的连续磁场，求在(2)的条件下，线框在水平导轨上从进入磁场到停止的位移和从倾斜导轨上由静止释放后的整个运动过程中线框内产生的焦耳热。

Answer 1

【答案】(1)1.25m/s；(2)4.80m/s；(3)0.30m；32J

【解析】

(1)线框进入磁场时产生的感应电动势

由欧姆定律，线圈中的电流

线框受到的安培力

线框匀速下滑，由平衡条件有

解得线框在磁场中运动的速度

(2)设金属线框MN边刚进入水平导轨上第一个磁场区时速度为v2，MN边即将进入第二个磁场区时速度为v3，线框从刚进入第一个磁场区到刚要进入第二个磁场区的过程中，由动量定理有

由法拉第电磁感应定律有

由欧姆定律有

解得

(3)MN边刚进入第二个磁场区时速度为v3，此后在安培力作用下减速到0，线框所受的安培力为

设该过程位移为x，由动量定理有

即

解得

故位移为

根据能量守恒定律，金属线框内产生的焦耳热为

解得