Question

12．一列汽车车队以v₁=10m/s的速度匀速行驶，相邻车间距为25m，后面有一辆摩托车以v₂=20m/s的速度同向行驶，当它与车队最后一辆车相距S₀=40m时刹车，以a=0.5m/s²的加速度做匀减速直线运动，摩托车从车队旁边行驶而过，设车队车辆数n足够多，问：
（1）摩托车最多能与几辆汽车相遇？
（2）摩托车从赶上车队到离开车队，共经历多少时间？（结果可用根号表示）

Answer 1

分析 （1）当摩托车速度减为10m/s时，由速度公式求出时间，由速度位移公式分别求出此过程汽车和摩托车的位移，得到摩托车与最后一辆汽车的距离，根据相邻车间距为100m求出摩托车与最后一辆汽车的距离和汽车相遇的次数．
（2）摩托车追上最后一辆汽车，根据上题车队的位移与最后一辆汽车超过摩托车位移之差，求出摩托车从赶上车队到离开车队的时间．

解答 解：（1）摩托车刹车到停止运动的时间为 t₀=$\frac{{v}_{2}}{a}$=40s
当摩托车速度减为10 m/s时，设用时为t，摩托车行驶的距离为x₁，每辆汽车行驶的距离都为x₂．
由速度公式得：v₂=v₁-at   
解得 t=20 s
由速度位移公式得：v₂²-v₁²=-2ax₁
解得 x₁=300 m，x₂=v₂t=200 m
摩托车与最后一辆汽车的距离：△x=（300-200-40）m=60 m
故摩托车追上的汽车数 n=$\frac{60}{25}$+1=3.4，则追上汽车3辆．
（2）设摩托车追上最后一辆汽车的时刻为t₁，最后一辆汽车超过摩托车的时刻为t₂．
则：△x+v₂t=v₁t-$\frac{1}{2}$at²
解得：△t=t₂-t₁=8$\sqrt{15}$s．
答：
（1）摩托车最多能与3辆汽车相遇．
（2）摩托车从赶上车队到离开车队，共经历8$\sqrt{15}$s时间．

点评 本题是相遇问题，抓住汽车和摩托车之间的关系，如速度关系、位移关系是求解的关键．