Question

8．如图所示，平台上质量m=1kg的小球从A点水平抛出，恰能无碰撞地进入光滑的斜面BC，经C点进入光滑水平面CD时速率不变，最后进入悬挂在O点并与水平面等高的弧形轻质筐内．已知A、B两点高度差为h₁=0.8m，BC斜面高h₂=2m，倾角α=53°，悬挂弧形轻质筐的轻绳长为l=2m，小球可看成质点，轻质筐及绳的重力忽略不计，且筐的高度远小于悬线长度（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s²）试求：
（1）B点与抛出点A的水平距离x；
（2）小球进入轻质筐后瞬间，轻质筐所受拉力F的大小；
（3）通过计算判断小球进入轻质筐后两者能否一起在竖直平面内作完整的圆周运动．

Answer 1

分析 （1）小球从A到B做平抛运动，小球恰好与无碰撞地进入光滑的BC斜面，速度沿BC面向下，可得到两个方向的分速度关系．从水平方向和竖直方向运用平抛运动的规律分析解决问题．
（2）由动能定理求出小球到达B点时的速度，小球进入轻质筐后瞬间做圆周运动，由牛顿第二定律可以求出拉力．
（3）应用动能定理与牛顿第二定律求出做在最高点做圆周运动的临界速度，然后根据临界速度分析答题．

解答 解：（1）小球运动至B点时速度方向与水平方向夹角为53°，
设小球抛出时的初速度为v₀，从A点至B点的时间为t，有：
竖直方向：h=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向：x=v₀t，
tan53°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$，
解得：x=1.2m；
（2）设小球运动至B点时速度为v_C，
由动能定理得：$mg（{h_1}+{h_2}）=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_0^2$，解得：v_C=7m/s，
小球进入轻质筐后瞬间做圆周运动，由牛顿第二定律得：F-mg=$\frac{mv_C^2}{l}$，解得F=34.5N；
（3）球和筐在竖直平面内要做完整的圆周运动，在最高点应满足：$mg=\frac{{m{v^2}}}{l}$，
从最低点到最高点过程中由动能定理得：
$-2mgl=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_D^2$，
解得：v_D=10m/s＞7m/s，
所以筐和球不能在竖直平面内做完整的圆周运动；
答：（1）B点与抛出点A的水平距离x为1.2m；
（2）小球进入轻质筐后瞬间，轻质筐所受拉力F的大小为34.5N；
（3）小球进入轻质筐后两者不能一起在竖直平面内作完整的圆周运动．

点评 遇到题目过程非常复杂时，注意把题目细化分解到小的过程．比如此题中，整个过程可分为平抛、沿光滑斜面匀加速、沿水平面匀速、沿圆轨道圆周运动．