Question

9．如图所示，水平放置的圆盘边缘C点有一个小洞，圆盘半径R=1m，在圆盘直径CD的正上方，与CD平行放置一条长为R的水平滑道AB，滑道右端B与圆盘圆心O在同一条竖直线上，且B点距离圆盘圆心的竖直高度h=1.25m．在滑道左端静止放置质量为m=0.2kg的物块（可视为质点），小球与滑道间的动摩擦因数为μ=0.25．现使小球以某一水平向左的初速度运动，同时圆盘从图示位置以图中所示的角速度ω绕通过圆心O的竖直轴匀速转动，最终小球恰好落入圆盘边缘的小洞内，重力加速度取10m/s²．
（1）小球运动的初速度v₀的大小；
（2）圆盘运动的角速度ω的值．

Answer 1

分析 （1）小球先做匀减速运动，之后做平抛运动，由运动特点可得小球运动的初速度v₀；
（2）小球运动时间内，圆盘转动的角度为（2n+1）π，（n=0、1、2、3、），由角速度的定义式可得角速度．

解答 解：（1）小球从B点开始做平抛运动，设时间为t，速度大小为v，则有：
h=$\frac{1}{2}$gt²，
R=vt，
代入数据得：t=0.5s，v=2m/s，
设小球从A到B运动时间为t′，则有：
-$μmgR=\frac{1}{2}$${mv}^{2}-\frac{1}{2}$${mv}_{0}^{2}$，
v=v₀-at′，
其中，a=$\frac{μmg}{m}=μg$
代入数据得：v₀=3m/s，t′=0.4s；

（2）小球从运动开始，到恰好落入圆盘边缘的小洞内的时间为：
T=t+t′=0.5s+0.4s=0.9s
圆盘运动的角速度为：ω=$\frac{（2n+1）π}{T}$=$\frac{10π（2n+1）}{9}$ rad/s（n=0.1.2.3…）．
答：（1）小球运动的初速度大小为3m/s；
（2）圆盘运动的角速度ω的值为$\frac{10π（2n+1）}{9}$ （n=0.1.2.3…）．

点评 关键分析好小球的运动情景，注意挖掘“小球恰好落入圆盘边缘的小洞内”的条件为相等时间内圆盘转动的角度为（2n+1）π，（n=1、2、3、），属于多解问题．