Question

7．如图所示，在一绝缘的水平面上，静止放置一质量为3m的物块B，在其左侧相距为L处放置一质量为m的光滑小球A，球A带正电、电荷量为q，物块B不带电．在整个水平面上加上一方向水平向右的匀强电场，电场强度为E．球A在电场力作用下从静止开始向右运动，接着与物块B发生第一次正碰．一段时间后A、B又发生第二次正碰．如此重复．已知球A与物块B每次发生碰撞的时间都极短且系统的机械能都没有损失，碰撞过程无电荷转移，且第二次碰撞发生在物块B的速度刚好减为零的瞬间．求：
（1）A、B发生第一次碰撞后瞬间的速度．
（2）从一开始到A、B发生第n次碰撞时，球A在水平面上的总位移．

Answer 1

分析 （1）对于两球第一次碰撞前A的运动过程，运用动能定理列式，可求得A球第一次碰撞前瞬间的速度．对于碰撞过程，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式，求出A、B发生第一次碰撞后瞬间的速度．
（2）A、B发生第二次正碰时A、B的位移相等，由平均速度乘以时间表示位移列式，并对A由动能定理列式，联立求得第二次碰前A的速度和A在水平面发生的位移，抓住规律求总位移．

解答 解：（1）A球运动至第一次碰前速度为v₀，由动能定理得
   qEL=$\frac{1}{2}$mv₀²-0                     ①
A、B发生弹性正碰，取水平向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律有
  mv₀=mv_A+3mv_B            ②
  $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$×3mv_B²          ③
解得第一次碰撞后瞬间A、B的速度分别为：
   v_A=-$\frac{{v}_{0}}{2}$=-$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$（方向水平向左）④
   v_B=$\frac{{v}_{0}}{2}$=$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$（方向水平向右）  ⑤
（2）碰后经时间t时A、B发生第二次正碰，则A、B的位移相等，设为x，取水平向右为正方向，对B，有
   x=$\frac{{v}_{B}+0}{2}t$                    ⑥
对A，有
   x=$\frac{{v}_{A}+{v}_{A2}}{2}t$                  ⑦
  qEx=$\frac{1}{2}$mv_A2²-$\frac{1}{2}$mv_A²             ⑧
解得第二次碰前A的速度为 v_A2=v₀                      ⑨
  x=$\frac{3}{4}$L                         ⑩
因为第二次碰前两物体的速度与第一次碰前完全相同，因此以后相邻两次碰撞之间两物体的运动情况也完全相同．
第n次碰撞时，球A在水平面上的总位移
  s=L+（n-1）$•\frac{3}{4}$L=$\frac{3n+1}{4}$L（11）
答：（1）A、B发生第一次碰撞后瞬间A的速度为$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$，方向水平向左．B的速度为$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$，方向水平向右．
（2）从一开始到A、B发生第n次碰撞时，球A在水平面上的总位移是$\frac{3n+1}{4}$L．

点评 解决本题的关键是要分析清楚物体的运动过程与运动性质，抓住过程的重复性，注意数学归纳法的应用．