Question

12．质量为M、长为$\sqrt{3}$L的杆水平放置，杆两端A、B系着长为3L的不可伸长且光滑的柔软轻绳，绳上套着一质量为m的小铁环．已知重力加速度为g，不计空气影响．
（1）现让杆和环均静止悬挂在空中，如图甲所示，求绳中拉力的大小：
（2）若杆与环保持相对静止，在空中沿AB方向水平向右做匀加速直线运动，此时环恰好悬于A端的正下方，如图乙所示．求此状态下杆的加速度大小a；
（3）为保持（2）这种状态需在杆上施加一个多大的外力，方向如何？

Answer 1

分析 （1）以环为研究对象，环处于静止状态，合力为零，根据平衡条件求解绳中拉力的大小；
（2）以环为研究对象，由正交分解法，根据牛顿第二定律求解加速度；
（3）对整体研究，由正交分解法，根据牛顿第二定律求解外力的大小和方向．

解答 解：（1）以环为研究对象，环处于静止状态，合力为零，分析受力如图所示，设两绳的夹角为2θ．
则sinθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}L}{1.5L}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
设绳子的拉力大小为T，由平衡条件得
2Tcosθ=mg
解得T=$\frac{\sqrt{6}}{4}mg$；
（2）对环：设绳子的拉力大小为T′，则根据牛顿第二定律得：
竖直方向：T′+T′cos60°=mg
水平方向：T′sin60°=ma，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$g
（3）设外力大小为F，方向与水平方向成α角斜向右上方．
对整体：由牛顿第二定律得：
水平方向：Fcosα=（M+m）a
竖直方向：Fsinα=（M+m）g
解得，F=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$（m+M）g，α=60°即外力方向与水平方向夹角为60°斜向右上方．
答：（1）现让杆和环均静止悬挂在空中，绳中拉力的大小是$\frac{\sqrt{6}}{4}mg$；
（2）此状态下杆的加速度大小a为$\frac{\sqrt{3}}{3}$g；
（3）为保持这种状态需在杆上施加一个的外力为$\frac{2}{3}\sqrt{3}$（m+M）g，方向与水平方向夹角为60°斜向右上方．

点评 本题中铁环与动滑轮相似，两侧绳子拉力大小相等，运用正交分解法研究平衡状态和非平衡情况．