Question

如图所示，水平放置的不带电的平行金属板p和h相距h，与图示电路相连，金属板厚度不计，忽略边缘效应。p板上表面光滑，涂有绝缘层，其上O点右侧相距h处有小孔K；b板上有小孔T，且O、T在同一条竖直线上，图示平面为竖直平面。质量为m、电荷量为- q（q > 0）的静止粒子被发射装置（图中未画出）从O点发射，沿P板上表面运动时间t后到达K孔，不与板碰撞地进入两板之间。粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g。

⑴ 求发射装置对粒子做的功；

⑵ 电路中的直流电源内阻为r，开关S接“1”位置时，进入板间的粒子落在h板上的A点，A点与过K孔竖直线的距离为l。此后将开关S接“2”位置，求阻值为R的电阻中的电流强度；

⑶ 若选用恰当直流电源，电路中开关S接“l”位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方向垂直于图面的、磁感应强度大小合适的匀强磁场（磁感应强度B只能在0～B_m=范围内选取），使粒子恰好从b板的T孔飞出，求粒子飞出时速度方向与b板板面夹角的所有可能值（可用反三角函数表示）。

Answer 1

    解：（1）设粒子在p板上做匀速直线运动的速度为v₀，有

h＝v₀t                                ①

设发射装置对粒子做的功为W，由动能定律

                             ②

联立①②式可得                                    ③

说明：①②式各2分，③式各1分

（2）S接“1”位置时，电源的电动势E₀与板间电势差U有

                       E₀＝U                                 ④

板间产生匀强电场的场强为E，粒子进入板间时有水平方向的速度v₀，在板间受到竖直方向的重力和电场力作用而做累平抛运动，设加速度为a，运动时间为t₁，有

U＝Eh                                ⑤

mg－qE＝ma                          ⑥

                              ⑦

l＝v₀ t₁                                ⑧

    S接“2”位置时，则在电阻R上流过的电流I满足

                            ⑨

联立①④～⑨式得                          ⑩

说明：④～⑩式各1分

    （3）由题意知此时在板间运动的粒子重力与电场力平衡，当粒子从K进入板间后立即进入磁场做匀速圆周运动，如图所示，粒子从D点出磁场区域后沿DT做匀速直线运动，DT与b板上表面的夹角为题目所求夹角θ，磁场的磁感应强度B取最大值时的夹角θ为最大值θ_m，设粒子做匀速圆周运动的半径为R，有

                              ⑾

过D点作b板的垂线与b板的上表面交于G，由几何关系有

            ⑿

                 ⒀

              ⒁

联立①⑾～⒁式，将B＝B_m代入，求得

                    ⒂

当B逐渐减小，粒子做匀速圆周运动的半径为R也随之变大，Ｄ点向b板靠近，DT与b板上表面的夹角θ也越变越小，当D点无限接近于b板上表面时，粒子离开磁场后在板间几乎沿着b板上表面从T孔飞出板间区域，此时B_m＞B＞0满足题目要求，夹角θ趋近θ₀，即

θ₀＝0                                    ⒃

    则题目所求为                                        ⒄

说明：⑾～⒄式各1分