Question

5．如图所示，两个星球1和2在引力作用下都绕固定点O（图中未画出）做匀速圆周运动，A为两星体连线上的一点，A到星球1和2的球心的距离分别为r₁、r₂，且r₁：r₂=2：1．设想一宇宙航天器运动到A点时，航天器上的宇航员看到两星体一样大（从物体两端引出的光线在人眼光心处所成的夹角叫做视角，物体在视网膜上所成像的大小决定于视角），在A点航天器受到两星体的引力为零，下列判断正确的是（　　）

• A． 星球1和2的密度之比为1：2
• B． 星球1和2的密度之比为2：1
• C． 星球1和2做圆周运动的半径之比为1：4
• D． 星球1和2做圆周运动的半径之比为1：16

Answer 1

分析 根据探测器在A点受两星球引力为0，可求出两星球的质量比；由视角相等及几何关系求出两星球的半径之比，从而求出密度之比；两星球绕连线上某个固定点做匀速圆周运动是双星模型，质量与轨道半径成反比，求出轨道半径．

解答 解：由题意知，在A点航天器受到两星体的引力为零，设两星球的质量分别为${m}_{1}^{\;}$、${m}_{2}^{\;}$，探测器质量为m
$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{\;}^{\;}}{{r}_{1}^{2}}=G\frac{{m}_{2}^{\;}m}{{r}_{2}^{2}}$
解得$\frac{{m}_{1}^{\;}}{{m}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{2}}=\frac{4}{1}$
航天器上的宇航员看到两星体一样大，从A点向两星球作切线，夹角相等，根据三角形相似得．两星球半径之比$\frac{{R}_{1}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}=\frac{2}{1}$
根据体积公式$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，两星球的体积之比$\frac{{V}_{1}^{\;}}{{V}_{2}^{\;}}=\frac{{R}_{1}^{3}}{{R}_{2}^{3}}=\frac{8}{1}$
根据$ρ=\frac{m}{V}$
$\frac{{ρ}_{1}^{\;}}{{ρ}_{2}^{\;}}=\frac{1}{2}$，故A正确，B错误．
两星球绕它们之间的固定点O做匀速圆周运动，具有相同的角速度，设轨道半径分别为${r}_{A}^{\;}$、${r}_{B}^{\;}$
$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{A}^{\;}={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{B}^{\;}$得${m}_{1}^{\;}{r}_{A}^{\;}={m}_{2}^{\;}{r}_{B}^{\;}$
轨道半径之比$\frac{{r}_{A}^{\;}}{{r}_{B}^{\;}}=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}=\frac{1}{4}$，故C正确、D错误．
故选：AC

点评 本题关键是认真审题，注意理解“视角”相等的含义，知道双星系统靠它们之间的万有引力提供向心力，角速度相等的特点．