Question

7．激流勇进是游乐园常有的机动游乐项目，其工作原理是由主动轮将游船沿较长的倾斜轨道提升至一定高度，然后船只从高处滑下，冲入水中，溅起很高且美丽的水花，整个过程刺激又有趣．其工作过程可以简化如下情景：如图所示，左倾斜角α=30°的轨道AB（其长L₁=30m）上相互间隔安装着主动轮，主动轮与游船间的动摩擦因数μ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；右侧倾角β=53°的轨道CD（其长L₂=20m）上相互间隔安装着导向轮（不会提供动力），导向轮与游船间的动摩擦因数均为μ₂=$\frac{41}{72}$；左右两侧轨道通过一段平滑轨道BC（其长L₃=3m）相连，两相邻主动轮（或导向轮）间的距离s₀=1m，长为L₀=2m的游船上坐着两个游客，总质量为180kg，从左侧轨道如图所示的位置由静止开始被主动轮带动向上运动（主动轮的半径r=0.2m，恒定的角速度ω=10rad/s），达恒定的速率后，一直以此速率运动到游船尾部刚好与右侧轨道的上端C点平齐的位置，之后在导向轮上向下滑动．已知g=10m/s²，sin53°=0.6，cos53°=0.6．求：
（1）游船从轨道左侧运动到右侧底端（船头刚好触及水面）所用总时间；
（2）动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比．

Answer 1

分析 （1）游客先加速上升、再匀速上升、最后加速下降，根据牛顿第二定律分阶段求解加速度，根据运动学公式列式求解各段的时间和位移，得到总时间；
（2）根据P=Fv求解瞬时功率，求解比值即可．

解答 解：（1）游客加速上升阶段，设其加速度为a₁，由牛顿第二定律，有：
μ₁mgcos30°-mgsin30°=ma₁
代入数据解得：
${a}_{1}=2.5m/{s}^{2}$
从静止到达到共速所用时间为t₁，上移的距离为x₁，由运动学规律有：
v=a₁t₁
主动轮的线速度为：v=rω=0.3×10m/s=2m/s
联立解得：t₁=0.8s
又因为${x}_{1}=\frac{v}{2}{t}_{1}$，
解得：x₁=0.8m
匀速运动的位移为：x₂=L₁+L₃-x₁=（30+3-0.8）m=32.2m
匀速运动的时间：${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{v}=\frac{32.2}{2}=16.1s$
游船在右侧轨道上匀加速运动，加速度为a₂，由牛顿第二定律，有：
mgsinβ-μ₂mgcosβ=ma₂ 
代入数据解得：${a}_{2}=\frac{55}{12}m/{s}^{2}$
加速运动的时间为t₁，游船在右侧轨道上发生的位移为：${L}_{2}-{L}_{0}=v{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{3}^{2}$
联立解得：t₂=2.4s
故游船从轨道左侧运动到右侧底（船头刚好触到水面）所用的总时间为：
t=t₁+t₂+t₃=19.3s 
（2）游船达到恒定速率前动力装置增加的功率为：
P₁=f₁v=（μ₁mgcosα）v 
游船达到恒定速率后动力装置增加的功率为：
P₂=f₂v=（mgsinα）v 
动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}=\frac{{μ}_{1}cosα}{sinα}=\frac{3}{2}$
答：（1）游船从轨道左侧运动到右侧底端（船头刚好触及水面）所用总时间为19.3s；
（2）动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比为3：2．

点评 本题关键是明确游船的运动情况、受力情况，要分加速上升、匀速上升、加速下降过程进行分析，根据牛顿第二定律、运动学公式和功率的公式列式求解，不难．