Question

竖直放置的平行金属板M、N相距d，板间有垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B₁，从上下极板分别引出导线，接入由两根光滑的平行直金属导轨及顶端的定值电阻构成的斜面，如图．导轨间距为L，斜面倾角为θ，其下方置于一垂直导轨平面向上、磁感应强度为B₂的有界匀强磁场，边界为EF、GH．现有质量为M，电阻为r的金属导体棒ab，从斜面上方CD处由静止开始沿斜面下滑，同时有一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，从M、N两板中间左端沿中心线水平射入场区．不计粒子重力．

（1）在导体棒ab未进入有界磁场前，求粒子初速度v₀多大时，可以垂直打在金属板上？
（2）若导体棒ab进入有界磁场后棒中电流大小始终不变，且以v₀射入平行板MN的粒子恰好能沿中心线穿过，求CD与EF的高度差h及定值电阻R．
（3）若将有界磁场的EF边界略微下移，使得有界磁场的长宽都为L，已知导体棒ab进入有界磁场时的速度大小为v₂，要使其在外力F作用下匀减速直线运动到GH边界时速度恰好为0，求所加外力F随时间变化的关系式．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直打在金属板上应该是恰好运动四分之一圆周，半径为

1

2

d，由牛顿第二定律表示出粒子的半径，然后可以求出粒子的初速度；
（2）若导体棒ab进入有界磁场后棒中电流大小始终不变，说明导体棒做匀速直线运动，根据平衡条件列方程可求出感应电流大小，粒子能沿中心线穿过说明粒子所受重力与电场力相等，列受力平衡方程可以求出极板两端的电压，极板两端的电压与R两端电压相等，根据欧姆定律可以求出R的大小；从而可以求出导体棒下落的速度，
根据动能定理列方程求出下落的高度h
（3）匀减速直线运动到GH边界时速度恰好为0，根据速度位移公式求出加速度大小，然后根据牛顿第二定律列方程求出F的表达式．

解答：解：（1）在导体棒ab未进入有界磁场前，粒子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为r₀，则有：
qB₁v₀=

mv02

r0

…①
垂直打在金属板上，则有：r₀=

d

2

…②
联立①②式可得v₀=

qB1d

2m

（2）导体棒ab进入有界磁场后，根据平衡条件：
mgsinθ=B₂IL
得：I=

mgsinθ

B2L

粒子恰好能沿中心线穿过，由平衡条件：qv₀B₁=qE
得：E=v₀B₁
则U_MN=Ed=B₁v₀d
平行板电容器和R并联，则U_MN=U_R
根据欧姆定律：R=

UR

I

．
所以有：R=

UR

I

=

B1B2v0Ld

mgsinθ

又根据动能定理：mgh=

1

2

mv²-0
得：h=

v2

2g

F_安=

B22L2v

R+r

=mgsinθ，所以：v=

mgsinθ(R+r)

B22L2

所以：CD与EF的高度差h=

v2

2g

=

m2g(R+r)2sin2θ

2B24L4

（3）当EF向下平移时，：F_安=

B22L2v2

R+r

＞mgsinθ
L=

-v22

2a

所以可得：a=

-v22

2L

，v=v₂+at
由：F_合=mgsinθ-F-F_安=ma
得：F=mgsinθ-ma-F_安=mgsinθ+

mv22

2L

-

B22L2v

R+r

=mgsinθ+

mv22

2L

-

B 2 2 L2v2

R+r

-

B 2 2 L2at

R+r

答：（1）粒子初速度v₀₌

qB1d

2m

时，可以垂直打在金属板上
（2）CD与EF的高度差h=

m2g(R+r)2sin2θ

2 B 4 2 L4

，定值电阻R=

B1B2v0Ld

mgsinθ

（3）外力F随时间变化的关系式：F=mgsinθ+

mv22

2L

-

B 2 2 L2v2

R+r

-

B 2 2 L2at

R+r

点评：金属棒的切割磁感线，产生电动势，金属棒相当于一个电源接入电路．当金属棒匀速直线运动，则电动势稳定．
本题考查了仅有洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动；也有洛伦兹力与电场力相等时做匀速直线运动；也有仅有电场力让其做类平抛运动．