Question

7．如图所示，有一个可视为质点的P质量为m₁=1kg的小物块，从光滑平台上的质量为m₂=0.5kg的Q物块以V=3m/s的初速度水平向左撞击P物块后，P物块到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，已知AB高度差为h=0.6m最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M=3kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，圆弧轨道的半径为R=0.4m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=60°，不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）Q物块碰撞后的速度大小
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少多大？

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的规律求出小物块P平抛运动的初速度，结合动量守恒定律求出Q物块碰撞后的速度大小．
（2）根据平行四边形定则求出C点的速度，结合动能定理求出D点的速度，根据牛顿第二定律求出在D点支持力的大小，从而得出小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力．
（3）结合动量守恒定律和能量守恒定律求出木板的至少长度．

解答 解：（1）由平抛运动规律有$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
$tan{60^o}=\frac{V_y}{V_X}=\frac{gt}{V_0}$，
联立方程解得：V₀=2m/s                           
PQ碰撞过程动量守恒，规定向左为正方向，则m₂V=m₁V₀+m₂v′
代入数据解得：v′=-1m/s                     
（2）小物块在C点时的速度大小为v_C=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}=\frac{2}{\frac{1}{2}}m/s=4m/s$，
小物块由C到D的过程中，由动能定理得：m₁gR（1-cos 60°）=$\frac{1}{2}$m₁${{v}_{D}}^{2}$-$\frac{1}{2}$m₁${{v}_{C}}^{2}$  
代入数据解得v_D=2$\sqrt{5}$m/s，小球在D点时由牛顿第二定律得：
F_N-m₁g=m₁$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，代入数据解得F_N=60 N                                 
由牛顿第三定律得F_N′=F_N=6 0 N，方向竖直向下．                 
（3）设小物块刚滑到木板左端到达到共同速度，大小为v，
规定向左为正方向，根据动量守恒有：m₁v_D=（M+m₁）v
对物块和木板系统，由能量守恒定律得：
μm₁gL=$\frac{1}{2}$m₁${{v}_{D}}^{2}$-$\frac{1}{2}$（m₁+M）v²           
代入数据解得L=2.5 m，即木板的长度至少是2.5 m   
答：（1）Q物块碰撞后的速度大小为1m/s；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力为60N；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少为2.5m．

点评 本题考查了动量守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律的综合运用，涉及到平抛运动和圆周运动，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．