Question

(1)为了能满足上述要求，内、外筒间电压的可能值应是多少？
(2)讨论上述电压取最小值时，粒子在磁场中的运动情况。

Answer 1

(1) k =" 1," 2, 3, … (2)

[1] 设带电粒子自A点沿内圆筒半径方向射入磁场时的速度用v表示，进入磁场后，在洛仑兹力作用下粒子做圆周运动，并从内筒表面上的A₁点射出磁场，射出磁场时的速度大小仍为v，方向沿过A₁点的内圆筒半径方向，如图所示。粒子自A₁射出磁场后便进入两圆筒间的电场中，在电场力的作用下，粒子做减速直线运动，刚到达外圆筒的内壁时，速度恰好减至零。然后粒子又在电场力作用下向A₁点做加速运动，回到时，粒子速度增大到v，并以此速度沿圆筒内圆半径方向第二次进入磁场，在磁场的洛仑兹力作用下，粒子又做圆周运动，并从A₂点射出磁场。此后，粒子又再一次在电场中减速，到达外壁时调转方向加速回到A₂点，从A₂点进入磁场，再做圆周运动并从A₃点射出磁场。这一过程多次重复到最后，粒子再次从A点射出磁场。

设粒子做圆周运动的半径为r，从A点射入磁场到从A₁点射出磁场经历的时间为t，绕圆心o’转过的角度为Ф，过A点和A₁点的内圆筒半径对其轴线o的张角为θ，如图所示。有
                ⑴
              ⑵
若粒子在磁场中经过n次偏转后能从A点射出磁场，应满足条件nθ = 2kπ ⑶
根据题意有         ⑷
而                ⑸
解以上各式得n = 2k+1       k =" 1," 2, 3, …    ⑹
       k =" 1," 2, 3, …    ⑺
连结图中的oo’，由直角三角形Aoo’可得:                    ⑻
因r是粒子在洛仑兹力作用下做圆周运动的轨道半径，有      ⑼
由⑵、⑻、⑼式得到粒子射入磁场时的速度            ⑽
设加在两圆筒间的电压为U，由能量守恒有                  ⑾
把⑽式代入⑾式得k =" 1," 2, 3, …    ⑿
[2] 当k=1时，对应射入磁场的速度为最小，加在两圆筒间的电压亦为最小，
                ⒀
                ⒁
由⑹式可知粒子在磁场中偏转的次数为 n = 3      ⒂
由⑺式可知每次偏转的角度       θ₃ = 120°        ⒃
由⑻式和⑺可知粒子在磁场内做圆周运动的半径   ⒄
粒子在磁场内运动的总路程                        ⒅