Question

18．如图所示，两根相距为L的足够长的两平行光滑导轨固定在同一水平面上，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B，ab和cd两根金属细杆静止在导轨上面，与导轨一起构成矩形闭合回路．两根金属杆的质量关系为m_ab=2m_cd=2m、电阻均为r，导轨的电阻忽略不计，从t=0时刻开始，两根细杆分别受到平行于导轨方向、大小均为F的拉力作用，分别向相反方向滑动，经过时间T时，两杆同时达到最大速度，以后都作匀速直线运动．
（1）若在t₁（t₁＜T）时刻ab杆速度的大小等于v₁，求此时时刻ab杆加速度的大小为多少？
（2）在0～T时间内，经过ab杆横截面的电量是多少？

Answer 1

分析 （1）对两个杆整体，受两个重力、两个支持力、两个拉力和两个安培力，合力为零，故系统动量守恒，根据动量守恒定律得到两个棒的速度之比；
在t₁（t₁＜T）时刻ab杆速度的大小等于v₁，对ab杆受力分析，根据切割公式、欧姆定律、动量守恒定律和牛顿的第二定律列式求解加速度；
（2）达到最大拉力时，安培力与拉力F平衡，根据平衡条件、切割公式、欧姆定律、动量守恒定律列式求解最大速度；
在对ab杆的加速过程根据动量定理列式求解即可．

解答 解：（1）在两金属杆运动过程中，对两杆组成的系统满足动量守恒，设此时杆cd的速度为v₂，以向右为正方向，满足2m v₁-m v₂=0，得v₂=2v₁ ；
此时刻回路中产生的电动势为E=Bl（v₁+v₂）=3Blv₁ ；
此时刻回路中的电流大小为I₁=$\frac{E}{2r}=\frac{{3Bl{v_1}}}{2r}$
ab杆所受的安培力大小为F₁=BI₁l=$\frac{{3{B^2}{l^2}{v_1}}}{2r}$
此时刻ab杆的加速度大小为a=$\frac{{F-{F_1}}}{2m}=\frac{F}{2m}-\frac{{3{B^2}{l^2}{v_1}}}{4mr}$
（2）设达到最大速度时ab杆的速度为v，则cd杆的速度为v′，以向右为正方向，根据动量守恒可得 2m v-m v′=0，
解出v′=2v；
回路中产生的电动势为E′=Bl（v+v′）=3Blv，
回路中的电流大小为I′=$\frac{E}{2r}=\frac{3Blv}{2r}$，
ab杆所受的安培力大小为F′=BI′l=$\frac{{3{B^2}{l^2}v}}{2r}$
杆达到最大速度时所受的拉力与安培力平衡，即F=F′，由F=$\frac{{3{B^2}{l^2}v}}{2r}$，
解得：$v=\frac{2Fr}{{3{B^2}{l^2}}}$；
在0～T时间内，设通过ab杆的平均电流为$\overline{I}$，以向左为正方向，对ab杆应用动量定理得 FT-B$\overline{I}$lT=2mv，
解得通过ab杆截面的电量q=$\overline{I}$T=$\frac{FT}{Bl}-\frac{4Fmr}{3{B}^{3}{l}^{3}}$；
答：（1）若在t₁（t₁＜T）时刻ab杆速度的大小等于v₁，此时时刻ab杆加速度的大小为$\frac{F}{2m}-\frac{3{B}^{2}{l}^{2}{v}_{1}}{4mr}$；
（2）在0～T时间内，经过ab杆横截面的电量是$\frac{FT}{Bl}-\frac{4Fmr}{3{B}^{3}{l}^{3}}$．

点评 本题关键是明确两个棒系统动量守恒，根据切割公式、平衡条件、安培力公式和欧姆定律列式求解；注意第二问求解电量时，要使用电流的平均值．