Question

如图，半径R=0.8m的光滑圆弧轨道固定在水平地面上，O为该圆弧的圆心，轨道上方的A处有一个可视为质点的质量m=1kg的小物块，小物块由静止开始下落后恰好沿切线进入圆弧轨道．此后小物块将沿圆弧轨道下滑，已知AO连线与水平方向的夹角θ=45°，在轨道末端C点紧靠一质量M=3kg的长木板，木板上表面与圆弧轨道末端的切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，g取10m/s²．求：
（1）小物块刚到达C点时的速度大小；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为多少？

Answer 1

分析：（1）小物块从A处运动到C点的过程中，只有重力做功，机械能守恒．根据机械能守恒，得出小物块滑到C点时的速度大小v_C．
（2）在C点小物块受到重力和轨道对它的竖直向上的支持力，根据FN-mg=m

vC2

R

，计算出小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时轨道对小物块的支持力的大小，再根据牛顿第三定律，得出小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力．
（3）小物块滑上长木板，与长木板发生相对滑动的过程中，先对系统研究，运用动量守恒定律mv_C=（M+m）v，求出小物块和长木板的共同速度v；再对小物块研究，运用动能定理-fxm=

1

2

mv2-

1

2

mvC2，求出小物块在该过程中相对于地面所发生的位移x_m；再对长木板，运用动能定理fxM=

1

2

Mv2，求出长木板在该过程中相对于地面所发生的位移x_M；则要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为x_m-x_M．

解答：解：（1）小物块从A到C，机械能守恒，设在C点的速度为v_C
因为mg×2R+0=0+

1

2

mvC2
所以vC=

4gR

=

4×10×0.8

m/s=4

2

m/s
故小物块刚到达C点时的速度大小为4

2

m/s
（2）对小物块，在C点受到重力和轨道对它的竖直向上的支持力．由牛顿第二定律得：
FN-mg=m

vC2

R

则FN=m

vC2

R

+mg
=1×

(4 2 )2

0.8

+1×10N
=50N
由牛顿第三定律得：小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力的大小为50N，方向竖直向下．
故小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力的大小为50N，方向竖直向下．
（3）设小物块刚滑到木板右端时达到共同速度，大小为v
对系统，由动量守恒定律得：
mv_c=（M+m）v
则v=

mvC

M+m

=

1×4 2

3+1

m/s
=

2

m/s 
对小物块，与长木板发生相对滑动的过程中，由动能定理得：
-μmgxm=

1

2

mv2-

1

2

mvC2
带人数据解得：小物块在该过程中相对于地面所发生的位移 x_m=5m  
对长木板，与小物块发生相对滑动的过程中，由动能定理得：
μmgxM=

1

2

Mv2
带人数据解得：长木板在该过程中相对于地面所发生的位移x_M=1m
长木板的长度至少为L=x_m-x_M
=5m-1m
=4m
答：要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为4 m．

点评：该题是一道综合题，综合运用了机械能守恒定律、动能定理、动量定理、牛顿第二定律以及牛顿第三定律，解决本题的关键熟练这些定理、定律的运用．