Question

11．如图所示，在粗糙的水平面上放有质量为M=0.3kg的绝缘长木板，有一质量为m=0.2kg，带电量为q=+4×10^-5C的小滑块（可视为质点）正沿木板的上表面向左运动．木板左端有一个固定在水平面上的四分之一光滑圆形绝缘轨道AB与之相接，轨道的最低点B点与木板的上表面相切．整个空间加有一个方向竖直向下、场强大小为E=5×10⁴N/C的匀强电场．己知滑块与木板间的动摩擦因数为μ₁=0.25，木板与水平面间的动摩擦因素为μ₂=0.1，滑块在木板上向左运动至距离B点x=0.3m处时速度大小为v₀=2$\sqrt{3}$m/s．（g取10m/s²）求：
（1）滑块通过木板滑上固定的光滑圆形轨道AB，沿轨道AB上升的最大高度H；
（2）滑块沿轨道AB返回运动滑上木板，要使滑块不从木板上掉下来，木板的长度L至少应为多少？
（3）滑块停止运动时，木板与B点的距离△x是多少？

Answer 1

分析 （1）对于滑块上升到最高点过程，重力、电场力、摩擦力做功，根据动能定理求出滑块上升的最大高度H；
（2）滑块从开始运动到返回至B点处过程，摩擦力和电场力做功，再由动能定理求解速度v_B的大小．滑块沿轨道AB返回运动滑上木板，滑块做匀减速运动，木块做匀加速运动，当两者速度相等时，两者所走的位移之差即为木板的长度的最小值．由牛顿第二定律和运动学公式结合求解．
（3）由几何关系求出滑块停止运动时与B点的距离△x．

解答 解：（1）对于滑块上升到最高点过程，根据动能定理得：
-μ₁（qE+mg）•x-（qE+mg）•H=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：H=$\frac{9}{40}$m
（2）对于滑块从最高点至B点处过程，根据动能定理得：
  （qE+mg）•H=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：v_B=3m/s
滑块又滑上木板后做匀减速运动，滑块的加速度为 a_m=$\frac{{μ}_{1}（mg+Eq）}{m}$=5m/s²．
木板的加速度 a_M=$\frac{{μ}_{1}（mg+Eq）-{μ}_{2}（Mg+mg+Eq）}{M}$=1m/s²；
设两者经过时间t速度相等，则  v_B-a₁t=a₂t，解得，t=0.5s
速度相等之后，滑块与木板相对静止做匀减速运动直至停止．那么速度相等时，两者所走的位移之差即为木板的长度的最小值，
则在两者相对滑动的过程中，滑块的位移为 s₁=v_Bt-$\frac{1}{2}$a_mt²=$\frac{7}{8}$m，木板的位移为 s₂=$\frac{1}{2}$a_Mt²=$\frac{1}{8}$m
木板的长度的最小值为：L=△s=s₁-s₂，
代入解得，L=0.75m．
（3）共同速度 v=a₂t=0.5m/s
速度相等之后，根据动能定理得
-μ₂（mg+Mg+F）s_共=0-$\frac{1}{2}$（M+m）v²；
解得，s_共=$\frac{5}{56}$m
滑块停止运动时与B点的距离△x=s₂+s_共=$\frac{3}{14}$m
答：
（1）滑块通过木板滑上固定的光滑圆形轨道AB，沿轨道AB上升的最大高度H是$\frac{9}{40}$m；
（2）滑块沿轨道AB返回运动滑上木板，要使滑块不从木板上掉下来，木板的长度L至少应为0.75m；
（3）滑块停止运动时，木板与B点的距离△x是$\frac{3}{14}$m．

点评 本题的关键要耐心细致地分析物体的运动过程，根据木板所受的滑动摩擦力与最大静摩擦力的关系，判断木板的运动状态，运用动能定理、牛顿第二定律和运动学公式结合进行处理．