Question

14．在一个圆筒内有一个折射率为n、半径为R的半球形玻璃砖，玻璃砖的平面与圆筒壁垂直，圆筒的半径也为R，此装置的剖面图如图所示．现有一束平行单色光垂直玻璃砖的平面射向玻璃砖，有部分光线从玻璃砖中射出，已知光在真空中的速度为c，求：
（i）射出玻璃砖的光线在玻璃砖中传播的最短时间；
（ii）要想所有光线都不需要射出玻璃砖，可在玻璃砖的平面上粘贴黑纸，求黑纸的最小面积．

Answer 1

分析 （i）射出玻璃砖时间最短的光线恰好在玻璃砖圆弧发生全反射，根据sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射临界角，再由数学知识求出光线在玻璃中的运动距离，由v=$\frac{c}{n}$求得光线在玻璃中的速度，从而求得最短的传播时间；
（ii）可根据几何知识求在玻璃砖的平面上粘贴黑纸，

解答 解：（i）光线从玻璃砖射入空气，设全反射临界角为θ，则：sinθ=$\frac{1}{n}$
由数学知识得到：cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$

当入射角等于全反射临界角θ时（上图中的光线a），光线在玻璃中的运动距离为 x=Rcosθ
光线在玻璃中的速度为 v=$\frac{c}{n}$
光线在玻璃中的时间为 t=$\frac{x}{v}$
解得时间为：t=$\frac{R}{c}$$\sqrt{{n}^{2}-1}$．
（ii）设光线a由空气射入玻璃的入射点与玻璃砖球心O点之间的距离为r，则 r=Rsinθ
所以黑纸的最小面积为：S=πr²
解得：S=$\frac{π{R}^{2}}{{n}^{2}}$．
答：（i）射出玻璃砖的光线在玻璃砖中传播的最短时间是$\frac{R}{c}$$\sqrt{{n}^{2}-1}$．
（ii）黑纸的最小面积是$\frac{π{R}^{2}}{{n}^{2}}$．

点评 本题的关键要掌握全反射产生的条件，结合几何知识进行求解即可，此类问题要注意把握隐含的临界状态，准确作出光路图进行解题．