Question

7．如图所示，倾角θ=30°的足够长平行导轨MN、M′N′与水平放置的平行导轨NP、N′P′平滑连接，导轨间距均为L，MM′间接有阻值为R的电阻，轨道光滑且电阻不计．倾斜导轨MN、M′N′之间（区域Ⅰ）有方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，水平部分的ee′ff′之间（区域Ⅱ）有竖直向上的匀强磁场，磁场宽度为d．质量为m、电阻为r、长度略大于L的导体棒ab从靠近轨道上端的某位置由静止开始下滑，棒始终与导轨垂直并接触良好，经过ee′和ff′位置时的速率分别为v和$\frac{v}{4}$．已知导体棒ab进入区域Ⅱ运动时，其速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正比，即△v∝△x．
（1）求区域Ⅰ匀强磁场的磁感应强度的大小．
（2）求导体棒ab通过区域Ⅱ过程中电阻R产生的焦耳热．
（3）改变区域Ⅰ的磁感应强度大小，使导体棒ab不能穿过区域Ⅱ，求区域Ⅰ的磁感应强度大小的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由导体棒进入区域Ⅱ的速度得到在区域Ⅰ的最大速度，然后根据受力平衡列方程，求解方程即可；
（2）对导体棒进行受力分析，应用动能定理即可求解；
（3）由导体棒的速度变化量与位移的关系求得导体棒不能通过区域Ⅱ的初速度范围，然后根据受力平衡求得区域Ⅰ的磁感应强度范围．

解答 解：（1）导体棒在磁场区域Ⅰ和磁场区域Ⅱ之间运动时，在水平方向上没有外力，故导体棒做匀速直线运动；
导体棒在斜面上下滑时，受重力、支持力、安培力作用，导轨足够长，则导体棒到达NN′前已达到最大速度，即导体棒在斜面上达到最大速度v时，导体棒受力平衡，则有：
$mgsinθ={B}_{1}IL=\frac{{{B}_{1}}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$
解得：${B}_{1}=\sqrt{\frac{mg（R+r）sinθ}{{L}^{2}v}}$=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mg（R+r）}{2v}}$；
（2）导体棒在区域Ⅱ中运动，只有安培力做功，所以，克服安培力做功为：
$W=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{1}{4}v）^{2}=\frac{15}{32}m{v}^{2}$；
所以，整个闭合电路产生的焦耳热为W，那么由串联电路的焦耳定律可知：电阻R产生的焦耳热为：
$Q=\frac{R}{R+r}W=\frac{15m{v}^{2}R}{32（R+r）}$；
（3）已知导体棒ab进入区域Ⅱ运动时，其速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正比，即△v∝△x，
则有：$v-\frac{1}{4}v=kd$；
若导体棒以速度v′进入磁场区域Ⅱ，导体棒不能穿过区域Ⅱ，则：
有$v′-0＜kd=v-\frac{1}{4}v=\frac{3}{4}v$；
由（1）可知：${B}_{1}′=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mg（R+r）}{2v′}}＞\frac{1}{L}\sqrt{\frac{2mg（R+r）}{3v}}$；
答：（1）区域Ⅰ匀强磁场的磁感应强度的大小为$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mg（R+r）}{2v}}$；
（2）导体棒ab通过区域Ⅱ过程中电阻R产生的焦耳热为$\frac{15m{v}^{2}R}{32（R+r）}$；
（3）改变区域Ⅰ的磁感应强度大小，使导体棒ab不能穿过区域Ⅱ，则区域Ⅰ的磁感应强度大小大于$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{2mg（R+r）}{3v}}$．

点评 闭合电路切割磁感线的问题中，一般由速度求得电动势，再根据电路求得电流，进而得到安培力；然后对导体棒进行受力分析，即可应用牛顿第二定律联系导体棒的运动状态，或应用动能定理求取安培力做功．