Question

15．如图所示，半径为R的大圆环上套有一质量为m的小球，当大圆环绕着过环心的竖直轴旋转时，小球随着一起做匀速圆周运动．已知小球与大圆环间的最大静摩擦力大小为f=0.6mg，小球偏离大圆环最低点的角度始终为θ=37°（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度为g）．
（1）若小球受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度ω₁及弹力N₁的大小；
（2）若小球即将相对于大圆环向外滑动，求角速度ω₂．

Answer 1

分析 （1）小球绕着竖直轴旋转时做匀速圆周运动，摩擦力恰好为零时，由其重力和圆环的支持力的合力提供向心力，根据向心力公式及几何关系即可求解角速度ω₁及弹力N₁的大小．
（2）若小球即将相对于大圆环向外滑动，小球所受的最大静摩擦力沿圆弧切线方向向下，此时由重力、圆环的支持力和静摩擦力的合力提供向心力，根据向心力公式解答．

解答 解：（1）小球绕着竖直轴旋转时做匀速圆周运动，摩擦力恰好为零时，由其重力和圆环的支持力的合力提供向心力，如图所示，由牛顿第二定律得：
竖直方向上有：N₁cosθ=mg
水平方向上有：N₁sinθ=mω₁²Rsinθ
解得 N₁=$\frac{mg}{cosθ}$=$\frac{5}{4}$mg，ω₁=$\sqrt{\frac{g}{Rcosθ}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5g}{R}}$
（2）若小球即将相对于大圆环向外滑动，小球所受的最大静摩擦力沿圆弧切线方向向下，根据牛顿第二定律得：
竖直方向上有：N₂cosθ=mg+fsinθ
水平方向上有：N₂sinθ+fcosθ=mω₂²Rsinθ
又 f=0.6mg
解得：ω₂=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{10g}{R}}$
答：
（1）若小球受到的摩擦力恰好为零，此时的角速度ω₁是$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5g}{R}}$，弹力N₁的大小是$\frac{5}{4}$mg；
（2）若小球即将相对于大圆环向外滑动，角速度ω₂是$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{10g}{R}}$．

点评 本题主要考查了向心力公式的直接应用，要明确匀速圆周运动的向心力由合外力提供，能熟练运用几何关系进行求解．