Question

(12分)如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。水平桌面右侧有一竖直放置的轨道MNP，其形状为半径R＝1.0m圆环剪去了左上角120°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的数值距离是h＝2.4m。用质量m₁＝0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点，用同种材料、质量为m₂＝0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块通过B点后做匀变速运动，其位移与时间的关系为x＝6t－2t²，物块飞离桌面后恰好由P点沿切线落入圆轨道(不计空气阻力，g取10m/s²)。求：

⑴物块m₂过B点时的瞬时速度v_B及与桌面间的滑动摩擦因数μ；
⑵若轨道MNP光滑，物块m₂经过轨道最低点N时对轨道的压力F_N；＝×－·
⑶若物块m₂刚好能到达轨道最高点M，则释放m₂后整个运动过程中其克服摩擦力做的功W。

Answer 1

⑴v_B＝6m/s，μ＝0.4；⑵F_N＝16.8N；⑶W＝8.0J

试题分析：⑴由题意质量为m₂的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块通过B点后做匀变速运动，其位移与时间的关系为x＝6t－2t²可知，物块m₂过B点时的瞬时速度为：v_B＝6m/s，加速度为：a＝－4m/s²①
物块离开B点后在桌面上受重力m₂g、桌面的支持力N和滑动摩擦力f作用，根据牛顿第二定律可知，在水平方向上有：－f＝m₂a               ②
在竖直方向上有：N－m₂g＝0              ③
根据滑动摩擦定律有：f＝μN               ④
由①②③④式联立解得：μ＝＝0.4
⑵物块从D点离开桌面后做平抛运动，设至P点时速度在竖直方向上的分量为v_y，则在竖直方向上，根据自由落体运动规律有：h＝           ⑤
因物块由P点沿切线落入圆轨道，由几何关系和物块水平方向做匀速运动的规律可知：v_y＝v_Dtan60° ⑥
物块由D运动至N的过程中，只有重力做功，根据动能定理有：m₂g(h＋R－Rcos60°)＝－⑦
在N点处，物块受重力m₂g和圆轨道的支持力F_N′作用，根据牛顿第二定律有：F_N′－m₂g＝  ⑧
根据牛顿第三定律可知，物块m₂经过轨道最低点N时对轨道的压力F_N＝F_N′             ⑨
由⑤⑥⑦⑧⑨式联立解得：F_N＝＋m₂g(3－2cos60°)＝16.8N
⑶设CB距离为x₁，BD距离为x₂，在物块m₁由C运动至B的过程中，根据功能关系有：E_p＝μm₁gx₁  ⑩
在物块m₂由C运动至B的过程中，根据功能关系有：E_p＝μm₂gx₁＋            ?
在物块m₂由B运动至D的过程中，根据动能定理有：－μm₂gx₂＝－          ?
由于物块m₂恰好通过圆轨道的最高点M，设通过速度为v_M，根据牛顿第二定律有：m₂g＝  ?
设物块m₂运动至P点时的速度为v_P，在m₂由P运动至M的过程中，克服摩擦力做功为W₃，根据动能定理有：－m₂g(R＋Rcos60°)－W₃＝－          ?
根据几何关系可知：v_P＝          ?
释放m₂后整个运动过程中其克服摩擦力做的功为：W＝μm₂gx₁＋μm₂gx₂＋W₃             ?
由①⑤⑥⑩??????式联立解得：W＝＋m₂gh(－)－m₂gR(＋cos60°)
代入数据解得：W＝7.2J＋4.8J－4.0J＝8.0J