Question

19．设“天宫二号”飞船在绕地球飞行的过程中进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h的圆形轨道（不在赤道平面内）．已知地球半径R，地面处的重力加速度g．?试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示）?若地球自转周期为T₀，求“天宫二号”在一天之内通过赤道上空的次数n．

Answer 1

分析 在月球表面，重力和万有引力相等，飞船在圆形轨道上，万有引力提供飞船做圆周运动的向心力求出周期表达式；一个周期“天宫二号”经过赤道上空二次，所以一天内通过赤道上空的次数为$\frac{{T}_{0}^{\;}}{T}×2$

解答 解：飞船绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得$T=2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{GM}}$
在地球表面质量为m的物体受到的重力等于万有引力，即
$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$
飞船在圆形轨道上运行的周期$T=2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$
一个周期内两次经过赤道上空，天宫二号在一天之内经过赤道上空的次数n=2$\frac{{T}_{0}^{\;}}{T}$=$\frac{{T}_{0}^{\;}}{π}\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{3}}}$
答：飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式为$T=2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$，“天宫二号”在一天之内通过赤道上空的次数n为$\frac{{T}_{0}^{\;}}{π}\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{3}}}$．

点评 万有引力的应用两点注意：（1）星球表面的重力和万有引力相等；（2）环绕天体受的万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力．注意轨道半径和距地面距离的关系．