Question

8．某一星球上，宇航员站在距离地面h高度处，以初速度v₀沿水平方向抛出一个小球，经时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的第一宇宙速度；
（3）该星球的质量M．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动竖直方向上的运动规律，结合位移时间公式求出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力提供向心力即可求出该星球的第一宇宙速度．
（3）根据万有引力等于重力求出星球的质量．

解答 解：（1）平抛运动的物体在竖直方向做自由落体运动，根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得星球表面的重力加速度为：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
（2）星球表面的重力提供卫星绕其表面做匀速圆周运动的向心力，则有：mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以有：v=$\sqrt{gR}$=$\frac{1}{t}•\sqrt{2hR}$
（3）根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得星球的质量为：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．
答：（1）该星球表面的重力加速度g是$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）该星球的第一宇宙速度是$\frac{1}{t}•\sqrt{2hR}$；
（3）该星球的质量M是$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．

点评 该题考查万有引力定律的应用，解决本题的关键掌握万有引力等于重力这一理论，并能灵活运用．