Question

20．已知某行星半径为R，以其第一宇宙速度运行的卫星的绕行周期为T，围绕该行星运动的同步卫星运行速率为v．则该行星的自转周期为（　　）

• A． $\frac{{2{π^2}{R^2}}}{{T{v^2}}}$
• B． $\frac{{4{π^3}{R^3}}}{v^3}$
• C． $\frac{2πR}{v}$
• D． $\frac{{8{π^3}{R^3}}}{{{T^2}{v^3}}}$

Answer 1

分析 第一宇宙速度的轨道半径为R，根据$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R求出GM，再根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$，求出同步卫星的高度；行星自转周期等于同步卫星的运转周期，根据T=$\frac{2πr}{v}$求出自转周期．

解答 解：（1）设同步卫星距地面高度为h，则：
$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$…①
以第一宇宙速度运行的卫星其轨道半径就是R，则：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R…②
由①②得：h=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{2}}-R$
行星自转周期等于同步卫星的运转周期：
T=$\frac{2π（R+h）}{v}$=$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{3}}$
故选：D

点评 解决本题的关键知道第一宇宙速度是卫星贴着行星表面做圆周运动的速度，知道卫星绕行星做圆周运动靠万有引力提供向心力．