Question

如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化周期为4t₀，E的变化周期为2t₀，变化规律分别如图乙和图丙所示．在t=0时刻从O点发射一带负电的粒子（不计重力），初速度大小为v₀，方向沿y轴正方向．在x轴上有一点A（图中末标出），坐标为（

48v0t0

π

，0）．若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v₀、t₀、B₀为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足：

E0

B0

=

v0

π

；粒子的比荷满足：

q

m

=

π

B0t0

．求：
（1）在t=

t0

2

时，粒子的位置坐标；
（2）粒子偏离x轴的最大距离；
（3）粒子运动至A点的时间．

Answer 1

分析：根据洛伦兹力提供向心力和周期公式求粒子的坐标；画出粒子运动轨迹，据此求粒子的最大距离；根据左周期性运动的周期，和一个周期内运动的距离求时间．

解答：解：（1）在0～t₀时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得：
qBv 0=mr1

4π2

T2

=m

v 2 0

r1

得：T=

2πm

qB0

=2t0r1=

mv0

qB0

=

v0t0

π

则在

t0

2

时间内转过的圆心角α=

π

2

所以在t=

t0

2

时，粒子的位置坐标为：（

v0t0

π

，

v0t0

π

）
（2）在t₀～2t₀时间内，粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运动轨迹如图所示
v=v0+

E0q

m

t0=2v0
运动的位移：x=

v0+v

2

t0=1.5v0t0
在2t₀～3t₀时间内粒子做匀速圆周运动，半径：r2=2r1=

2v0t0

π

故粒子偏离x轴的最大距离：h=x+r2=1.5v0t0+

2v0t0

π

（3）粒子在xOy平面内做周期性运动的运动周期为4t₀
一个周期内向右运动的距离：d=2r1+2r2=

6v0t0

π

AO间的距离为：

48v0t0

π

=8d
所以，粒子运动至A点的时间为：t=32t₀
答：（1）在t=

t0

2

时，粒子的位置坐标（

v0t0

π

，

v0t0

π

）；
（2）粒子偏离x轴的最大距离h=x+r2=1.5v0t0+

2v0t0

π

；
（3）粒子运动至A点的时间32t₀．

点评：带电粒子在电场、磁场和重力场等共存的复合场中的运动，其受力情况和运动图景都比较复杂，但其本质是力学问题，应按力学的基本思路，运用力学的基本规律研究和解决此类问题．