Question

18．2013年12月2日1时30分，我国成功发射了“嫦娥三号”探月卫星，12月6日17时47分顺利进入环月轨道．若该卫星在地球表面的重力为G₁，在月球表面的重力为G₂，已知地球半径为R₁，月球半径为R₂，地球表面处的重力加速度为g，则（　　）

• A． 月球表面处的重力加速度g_月为 $\frac{G_2}{G_1}g$
• B． 月球的质量与地球的质量之比为$\frac{{{G_1}R_2^2}}{{{G_2}R_1^2}}$
• C． 卫星在距月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期T_月为2π$\sqrt{\frac{{{R_2}{G_1}}}{{g{G_2}}}}$
• D． 月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为$\sqrt{\frac{{{G_1}{R_2}}}{{{G_2}{R_1}}}}$

Answer 1

分析 卫星在地球表面的重力为G₁，地球表面处的重力加速度为g，由G₁=mg，求出卫星的质量，再G₂=mg_月求出g_月．根据g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，由两星球的半径和表面重力加速度分别求出地球和月球的质量．卫星在距月球表面轨道上做匀速圆周运动时，由月球的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求出卫星的周期．地球的第一宇宙速度为v_地=$\sqrt{g{R}_{1}}$，月球的第一宇宙速度为v_月=$\sqrt{{g}_{月}{R}_{2}}$，将G₁=mg，G₂=mg_月代入求出第一宇宙速度之比．

解答 解：A、卫星的质量为m=$\frac{{G}_{1}}{g}$，月球表面处的重力加速度g_月=$\frac{{G}_{2}}{m}$=$\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}$g．故A正确；
B、由g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，得到月球的质量M_月=$\frac{{g}_{月}{{R}_{2}}^{2}}{G}$，M_地=$\frac{g{{R}_{1}}^{2}}{G}$，又$\frac{{g}_{月}}{g}=\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}$，整理得，月球的质量与地球的质量之比为$\frac{{G}_{2}{{R}_{2}}^{2}}{{G}_{1}{{R}_{1}}^{2}}$．故B错误；
C、设卫星质量为m，由mg_月=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{月}$，g_月=$\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}g$，解得T_月=2π$\sqrt{\frac{{R}_{2}{G}_{1}}{g{G}_{2}}}$．故C正确；
D、月球的第一宇宙速度为v_月=$\sqrt{{g}_{月}{R}_{2}}$，地球的第一宇宙速度为v_地=$\sqrt{g{R}_{1}}$，将G₁=mg，G₂=mg_月代入解得：$\frac{{v}_{月}}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{{G}_{2}{R}_{2}}{{G}_{1}{R}_{1}}}$．故D错误．
故选：AC．

点评 本题是卫星类型的问题，关键是构建物理模型，再运用数学变换进行分析处理．