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    8．如图所示，一小锤用细线系于固定悬挂点O处，将小锤拉至O左侧一定高度（不超过O点所在的水平面）由静止释放，小锤恰好在最低点P与停在光滑水平面上的物块发生弹性正碰，碰后物块冲向右边固定在墙上的细长钢钉．已知物块和小锤的质量分别为m、3m；物块和钢钉的长度分别为l、2l，OP距离为R；当小锤释放点距离P的高度h=$\frac{R}{2}$时，物块最终停止时其右端到墙的水平距离为$\frac{l}{2}$．重力加速度为g．物块未被穿透时受到的阻力大小只与钢钉进入物块的深度有关，物块被穿透后受到的阻力恒为f0．
    （1）当h=$\frac{R}{2}$时，小锤与物块碰前瞬间对细线的拉力；
    （2）当h=$\frac{R}{2}$时，物块开始接触钢钉时的速度大小；
    （3）要使物块最终被穿透但又没碰到墙，试求h的取值范围．

    分析 （1）小锤向下摆动过程机械能守恒，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律可以求出拉力．
    （2）小锤与物块发生弹性碰撞，碰撞过程系统动量与机械能守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出速度．
    （3）对物块应用动能定理可以求出h值，然后确定其范围．

    解答 解：（1）小锤下摆过程只有重力做功，机械能守恒，
    由机械能守恒定律得：3mgh=$\frac{1}{2}$•3mv2，解得：v=$\sqrt{gR}$，
    在最低点，由牛顿第二定律得：F-3mg=3m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
    解得：F=6mg，由牛顿第三定律可知，
    对细线的拉力：F′=F=6mg，方向竖直向下；
    （2）小锤与物块碰撞过程系统动量守恒，以小锤的初速度方向为正方向，
    由动量守恒定律得：3mv=3mv1+mv2 ①
    由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$•3mv2=$\frac{1}{2}$•3mv12+$\frac{1}{2}$mv22 ②
    已知：h=$\frac{R}{2}$，解得：v1=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$，v2=$\frac{3}{2}$$\sqrt{gR}$；
    （3）物块被穿透过程的阻力为变力，该过程阻力做功为W1，物块被穿透后受到的阻力恒为f0，
    此过程阻力做功为：-f0（l-x），物块减速到零的过程中，
    由动能定理得：W1-f0（l-x）=0-$\frac{1}{2}$mv22 ③
    已知：h=$\frac{R}{2}$、x=$\frac{l}{2}$，解得：W1=$\frac{1}{2}$f0l-$\frac{9}{8}$mgR   ④
    当h≤R时，由前面的分析可知，物体接触钢钉的瞬时速度为：v2=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2gh}$，
    物块接触钢钉后到物块停止过程中，由①②③④解得：
    x=-$\frac{9mg}{4{f}_{0}}$h+$\frac{9mg}{8{f}_{0}}$R+$\frac{1}{2}$l    ⑤
    0＜x＜l，则：$\frac{R}{2}$-$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$＜h＜$\frac{R}{2}$+$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$   ⑥，
    当h≤R时，由W1=$\frac{1}{2}$f0l-$\frac{9}{8}$mgR＜0可知，l＜$\frac{9mgR}{4{f}_{0}}$，
    代入⑥解得：$\frac{R}{2}$+$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$＜R，⑥符合要求，
    综上所述可知，h的取值范围是：$\frac{R}{2}$-$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$＜h＜$\frac{R}{2}$+$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$，
    答：（1）当h=$\frac{R}{2}$时，小锤与物块碰前瞬间对细线的拉力大小为6mg，方向竖直向下；
    （2）当h=$\frac{R}{2}$时，物块开始接触钢钉时的速度大小为$\frac{3}{2}$$\sqrt{gR}$；
    （3）要使物块最终被穿透但又没碰到墙，h的取值范围是：$\frac{R}{2}$-$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$＜h＜$\frac{R}{2}$+$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$．

    点评 本题考查了机械能守恒定律、动量守恒定律与动能定理的应用，分析清楚物体运动过程，应用机械能守恒定律、动量守恒定律与动能定理即可正确解题；物体运动过程复杂，本题难度较大．

    练习册系列答案
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