Question

12．如图所示，半径为R的四分之一圆弧支架，支架底ab离地面距离4R，圆弧边缘C处有一个小定滑轮，一轻绳两端分别系着质量为m₁m₂的物体（可视为质点），挂在定滑轮两边，且m₁大于m₂，开始时两物体均静止．（不计一切摩擦）求：
（1）m₁经过最低点a时的速度．
（2）若m₁ 经过最低点时绳断开，m₁ 落地点离a的水平距离为多少？
（3）为使 m₁ 能到达a点m₁与m₂之间必须满足什么关系？

Answer 1

分析 （1）对两球组成的整体，运用机械能守恒定律列式，并根据经过最低点a时两球沿绳子方向的分速度大小相等，得到它们速度大小的关系，再进行求解；
（2）绳断开后m₁做平抛运动，根据平抛运动的规律求m₁落地点离a点水平距离S；
（3）当m₁经过最低点a时的速度大于等于零时，m₁ 能到达a点，由上式结果分析．

解答 解：（1）如图将m₁ 的运动分解，则v₂=v₁sin45°
m₁m₂ 组成的系统机械能守恒，则得：
  m₁gR-m₂g•$\sqrt{2}$R=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²
解得：v₁=2$\sqrt{\frac{（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$
（2）绳断后m₁ 做平抛运动，平抛时间为：
t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=2$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
m₁ 落地点离a的水平距离为：S=v₁t=4R$\sqrt{\frac{2（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$
（3）为使 m₁ 能到达a点，必须有：v₁≥0
由v₁=2$\sqrt{\frac{（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$≥0 
可知当${m}_{1}≥\sqrt{2}{m}_{2}$时m₁可到达a点．
答：（1）m₁经过最低点a时的速度为2$\sqrt{\frac{（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$．
（2）若m₁ 经过最低点时绳断开，m₁ 落地点离a的水平距离为4R$\sqrt{\frac{2（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$．
（3）为使 m₁ 能到达a点m₁与m₂之间必须满足的条件是${m}_{1}≥\sqrt{2}{m}_{2}$．

点评 本题根据系统的机械能守恒处理连接体问题，也可以根据动能定理求速度，抓住两球沿绳子方向的分速度相等是解答的关键．