Question

1．一海关巡逻船按到上级指示，在距离港口s=5海里的地方有一艘走私船正在以v₀=24节（“节”是轮船航行速度的单位，1节=1海里/小时）的速度非法离境．于是巡逻船便从港口处由静止开始以a=0.05m/s的加速度沿走私船远离方向加速追赶，巡逻船的最大速度为v_m=36节．本题取1海里=1.8千米．
（1）求巡逻船与走私船之间的最大距离是多少海里？
（2）要使巡逻船恰好在追上走私船时不发生碰撞，则巡逻船在追上走私船之前必须先做减速运动，若其减速阶段的加速度与加速阶段的加速度相同，求巡逻船追上走私船的最短时间及位移．

Answer 1

分析 （1）当巡逻船与走私船的速度相等时，之间相距最远，结合速度公式和位移公式求出之间的最大距离．
（2）巡逻船先加速到最大速度，做匀速运动，然后做匀减速运动达到走私船速度相等时，所用的时间最短，抓住位移关系，结合运动学公式求出最短时间和位移．

解答 解：（1）${v}_{0}=\frac{24×1000×1.8}{3600}m/s$=12m/s，巡逻船的最大速度v_m=18m/s．
当速度相等时，经历的时间${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{12}{0.05}s=240s$，
此时之间的最大距离$△x={v}_{0}{t}_{1}+5×1800-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}$=$12×240+9000-\frac{144}{0.1}$m=10440m=5.8海里．
（2）要使巡逻船恰好在追上走私船时不发生碰撞，则两船速度相等，则巡逻船匀减速运动的位移${x}_{3}=\frac{{{{{v}_{0}}^{2}-v}_{m}}^{2}}{2a}=\frac{1{2}^{2}-1{8}^{2}}{-2×0.05}$m=1800m，
匀减速运动的时间${t}_{3}=\frac{{v}_{0}-{v}_{m}}{a}=\frac{12-18}{0.05}s=120s$，
匀加速运动的位移${x}_{1}=\frac{{{v}_{m}}^{2}}{2a}=\frac{1{8}^{2}}{0.1}m=3240m$，匀加速运动的时间${t}_{1}=\frac{{v}_{m}}{a}=\frac{18}{0.05}s=360s$，
设追上的最短时间为t，根据位移关系有：x₁+x₃+v_m（t-t₁-t₃）=9000+v₀t，
代入数据解得t=2100s．
位移x=9000+12×2100m=34200m=19海里．
答：（1）巡逻船与走私船之间的最大距离是5.8海里；
（2）巡逻船追上走私船的最短时间为2100s，位移为19海里．

点评 本题考查了运动学中的追及问题，关键抓住位移关系，结合运动学公式灵活求解，知道速度相等时有最大距离．