Question

7．如图所示，一倾角为30°的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离d处有一质量为m的小物体与圆盘始终保持相对静止．小物体在运动过程中始终受到一个竖直向下的恒力作用（图中未画出），其大小为$\frac{mg}{2}$．则物体与盘面间的动摩擦因数至少为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g为重力加速度）（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}（6g+4{ω}^{2}d）}{9g}$
• B． $\frac{2\sqrt{{ω}^{2}d}}{3g}$
• C． $\frac{\sqrt{3}（3g+4{ω}^{2}d）}{9g}$
• D． $\frac{\sqrt{3}（g+2{ω}^{2}）}{3g}$

Answer 1

分析 由物体做匀速圆周运动得到垂直盘面受力平衡，故可求得支持力；再根据盘面上的合外力做向心力得到最大摩擦力，进而求得动摩擦因数．

解答 解：物体以恒定角速度ω转动，所以，物体在垂直盘面方向上合外力为零，故支持力${F}_{N}=（mg+\frac{1}{2}mg）cos30°=\frac{3\sqrt{3}}{4}mg$；
物体在盘面上的合外力即向心力${F}_{向}=m{ω}^{2}d$，所以，最大静摩擦力至少为$f={F}_{向}+（mg+\frac{1}{2}mg）sin30°=m{ω}^{2}d+\frac{3}{4}mg$；
故物体与盘面间的动摩擦因数至少为$\frac{f}{{F}_{N}}=\frac{m{ω}^{2}d+\frac{3}{4}mg}{\frac{3\sqrt{3}}{4}mg}$=$\frac{\sqrt{3}（3g+4{ω}^{2}d）}{9g}$，故C正确，ABD错误；
故选：C．

点评 匀速圆周运动，在垂直运动平面上合外力为零，在运动平面上，合外力做向心力；常据此求得物体所受各力；在根据向心力的求解公式求得线速度、角速度、周期等．