Question

9．如图所示，质量为m的小球P自距离A点4R高处静止下落，然后沿A点切线方向进入竖直平面内的光滑轨道ABC．AB是半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧轨道，BC是直径为R的半圆弧轨道，B是轨道最低点，在B点有另一个质量也为m的静止的小球Q．小球P和小球Q碰撞后粘在一起变成整体S，整体S继续沿半圆轨道向上运动，求：
（1）小球P和小球Q碰撞时损失的机械能；
（2）整体S继续沿半圆轨道向上运动到C点时对轨道的压力；
（3）整体S离开C点后至撞上圆弧轨道的过程中下落的竖直高度．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求得到达B点的速度，根据动量定理求得碰后的速度，根据能量守恒求得损失机械能；
（2）从B到C过程中机械能守恒，求得到达C点速度，由牛顿第二定律求得在C点作用力；
（3）从C点做平抛运动，由平抛运动的特点结合几何关系即可求得

解答 解：（1）小球到达B点速度为v₀，从A到B由动能定理可得
$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=5mgR$
解得${v}_{0}=\sqrt{10gR}$
碰撞过程由动量定理可得mv₀=2mv
v=$\frac{\sqrt{10gR}}{2}$
碰撞损失机械能为$△E=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}^{2}=\frac{5}{2}mgR$
（2）S过程中机械能守恒$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}+2mgR$
解得${v}_{C}=\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
由N+2mg=$\frac{2m{•v}_{C}^{2}}{\frac{R}{2}}$
解得N=0
（3）S离开C做平抛运动，水平位移X=v_Ct
竖直位移为Y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
转上圆弧由X²+Y²=R²
解得${t}^{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{g}R$或${t}^{2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{g}R$（舍去）
故Y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}g$
答：（1）小球P和小球Q碰撞时损失的机械能为$\frac{5}{2}mgR$；
（2）整体S继续沿半圆轨道向上运动到C点时对轨道的压力为0；
（3）整体S离开C点后至撞上圆弧轨道的过程中下落的竖直高度为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}g$

点评 本题考查了动量守恒、能量守恒定律、牛顿第二定律的综合，涉及到平抛运动和圆周运动，综合性较强，是一道好题