Question

16．在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块圆柱形的木块，其高度为h，横截面积S=$\frac{{S}_{0}}{2}$，其中S₀为容器的低面积，水面静止时，水深为2h，木块有一半浸入水中．如果用力非常缓慢的将木块压到容器底部，水没有溢出，水的密度为P₀，求压力在该过程中所作的功．

Answer 1

分析 由圆柱形木块的底面积是圆柱形容器底面积的一半，从静止状态到木块刚好没入水面，此阶段，浮力增量是变化的，由于呈线性变化，故可取其中间值作为平均值，计算做功；第二阶段，从刚好没入水面到到达容器底部，压力不变，根据功的定义求出压力做功，二者之和即为结果．

解答 解：初始状态如图所示：

受压力F作用，刚开始浸入的过程中，压力等于浮力增量，且逐渐增大；
由于；圆柱形木块的底面积是圆柱形容器底面积的一半，则下压x深度，水面就上升x高度，
压力即浮力增量：F=△F_浮=${P}_{0}×2x×\frac{{S}_{0}}{2}×g={P}_{0}{S}_{0}gx$
当x=$\frac{h}{4}$时，木块刚好全部浸入水中，如图所示

此时压力：F=$\frac{{P}_{0}{S}_{0}gh}{4}$      ①
这一阶段由于压力即浮力增量是随x线性增加的，故可以对这一阶段的压力取平均值：$\overline{F}=\frac{\frac{{P}_{0}{S}_{0}gh}{4}}{2}=\frac{{P}_{0}{S}_{0}gh}{8}$
此阶段压力做功：${W}_{1}=\overline{F}•\frac{h}{4}$     ②
之后为第二阶段运动，压力不变，始终为：F=$\frac{{P}_{0}{S}_{0}gh}{4}$，直至把木块压至容器底部，压力作用距离：$s=2h-\frac{h}{2}-\frac{h}{4}═\frac{5}{4}h$   ③
第二阶段压力做功：W₂=Fs   ④
压力在该过程中所作的功：W=W₁+W₂     ⑤
联立①②③④⑤式得：W=$\frac{11}{32}{P}_{0}{S}_{0}g{h}^{2}$
答：压力在该过程中所作的功为$\frac{11}{32}{P}_{0}{S}_{0}g{h}^{2}$．

点评 本题考查浮力做功问题，须对过程认真分析，分段分析运动情景，灵活运用功的定义解题．