Question

13．如图所示，在O点悬有一根长R的细绳，绳上端穿有一个小球B，小球能顺着绳子下滑，下滑过程所受摩擦阻力是小球B的重力的k倍（k＜1）．在O点下方有一个半径也为R的光滑圆弧轨道，圆心恰好在O点，圆弧的最低点是O′．在圆弧上非常接近O′处有另外一个小球A，小球A和B都可以视为质点．现将A、B两球同时无初速释放，已知A球第2次到达平衡位置时正好和B球相碰．求：
（1）从释放到相碰经历的时间t；
（2）k的大小．

Answer 1

分析 球A的运动是类似单摆运动，球B匀加速下降，运动具有等时性；先根据单摆周期公式得到时间，然后根据牛顿第二定律求解加速度，最后根据运动学公式列式求解．

解答 解：（1）球A的运动是类似单摆运动，A第一次摆到最低点时间为：t₁=$\frac{T}{4}=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$；
A需要再经过半个周期才能第二次到达平衡位置，则：${t}_{2}=\frac{1}{2}T=π\sqrt{\frac{R}{g}}$
所以：t=t₁+t₂=$\frac{3π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$
（2）对球B，就牛顿第二定律，有：mg-f=ma；
根据题意，有：f=kmg；
根据位移时间关系公式，有：R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$；
联立以上四式可解得：k=$\frac{9{π}^{2}-8}{9{π}^{2}}$
答：（1）从释放到相碰经历的时间是$\frac{3π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$；
（2）k的大小是$\frac{9{π}^{2}-8}{9{π}^{2}}$．

点评 本题巧妙地将单摆模型和匀加速直线运动模型联系在一起考虑，关键是运动时间相同，不难．