Question

7．如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场中，有一根折成45°角的金属线POQ，其所在平面与磁场垂直，长直导线MN与金属线紧密接触，起始时Ob=L₀，且MN⊥OQ，MN在外力的作用下以速度v匀速向右运动，设所有导线单位长度的电阻均为r，求：
（1）当MN刚开始向右匀速滑动时，闭合电路aOb中感应电流的大小和方向；
（2）驱使MN做匀速运动的外力随时间变化的规律；
（3）导线上产生的热功率随时间变化的规律．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感应电动势，由电阻定律求出电路总电阻，然后由欧姆定律求出电流大小，应用右手定则判断出电流方向．
（2）由匀速运动的位移时间公式x=vt求解经过时间t导线离开o点的长度．MN切割磁感线的有效长度就是与MN与轨道接触的两点间的长度，由几何关系求解．由数学知识求得回路的总长，得到总电阻，可由闭合电路欧姆定律求解感应电流的大小．则可确定外力的变化情况．
（3）金属棒匀速运动时，外力的功率等于回路总的电功率，由功率公式P=I²R求出热功率．

解答 解：（1）切割磁感线的有效长度：L=L₀tan45°=L₀，
感应电动势：E=BL₀v，
闭合回路的总电阻：R=（L₀+L₀tan45°+$\frac{{L}_{0}}{cos45°}$）r=（2+$\sqrt{2}$）L₀r，
电路电流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{B{L}_{0}v}{（2+\sqrt{2}）{L}_{0}r}$=$\frac{Bv}{（2+\sqrt{2}）r}$；
由右手定则可知，感应电流沿逆时针方向；
（2）因导线MN匀速运动，则经过时间t导线离开o点的长度是 x=L₀+vt，
MN切割磁感线的有效长度是 L=（L₀+vt）tan45°=L₀+vt．
t时刻回路中导线MN产生的感应电动势为 E=BLv=B（L₀+vt）v，
回路的总电阻为 R=[（L₀+vt）+（L₀+vt）tan45°+$\frac{{L}_{0}+vt}{cos45°}$]r=（2+$\sqrt{2}$）（L₀+vt）r，
感应电流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{B（{L}_{0}+vt）v}{（2+\sqrt{2}）{（L}_{0}+vt）r}$=$\frac{Bv}{（2+\sqrt{2}）r}$
MN受到的安培力：F_安培=BIL=$\frac{{B}^{2}（{L}_{0}+vt）^{\;}v}{（2+\sqrt{2}）r}$，
MN做匀速直线运动，处于平衡状态，由平衡条件得：
拉力：F=F_安培=$\frac{{B}^{2}（{L}_{0}+vt）^{\;}v}{（2+\sqrt{2}）r}$；
（3）导线上产生的热功率：P=I²R=$\frac{{B}^{2}{v}^{2}（{L}_{0}+vt）}{（2+\sqrt{2}）r}$；
答：（1）当MN刚开始向右匀速滑动时，闭合电路aOb中感应电流的大小为$\frac{Bv}{（2+\sqrt{2}）r}$，方向：沿逆时针方向；
（2）驱使MN做匀速运动的外力随时间变化的规律为：F=$\frac{{B}^{2}（{L}_{0}+vt）^{\;}v}{（2+\sqrt{2}）r}$；
（3）导线上产生的热功率随时间变化的规律为：P=$\frac{{B}^{2}{v}^{2}（{L}_{0}+vt）}{（2+\sqrt{2}）r}$．

点评 本题考查了求电流、判断电流方向、求力、求热功率等问题，是一道电磁感应与电学、力学相结合的综合题，应用E=BLv、电阻定律、欧姆定律、安培力公式、平衡条件、电功率公式可以解题，本题有一定难度．