Question

如图所示，光滑的圆弧轨道固定在竖直平面内，与水平轨道CE连接。水平轨道的CD段光滑、DE段粗糙。一根轻质弹簧一端固定在C处的竖直面上，另一端与质量为2m的物块b刚好在D点接触（不连接），弹簧处于自然长度。将质量为m的物块a从顶端F点静止释放后，沿圆弧轨道下滑。物块a与物块b第一次碰撞后一起向左压缩弹簧。

已知圆弧轨道半径为r，=L，物块a、b与DE段水平轨道的动摩擦因数分别为μ₁=0.2和μ₂=0.4，重力加速度为g。物块a、b均可视为质点。求：

（1）物块a第一次经过E点时的速度是多少？

（2）试讨论L取何值时，a、b能且只能发生一次碰撞？

Answer 1

解：（1）物块a由F到E过程中，由机械能守恒有：   ……（2分）

        解得第一次经过E点时的速度  ………………………………（2分）

  （2）物块a从E滑至D过程中，由动能定理有：

        ………………………………………………（2分）

       解得物块a在D点时的速度  ……………………（1分）

物块a、b在D点碰撞，根据动量守恒有： ……………（2分）

       解得两物块在D点向左运动的速度 ………………（1分）

       a、b一起压缩弹簧后又返回D点时速度大小……（1分）

由于物块b的加速度大于物块a的加速度，所以经过D后，a、b两物块分离，同

时也与弹簧分离。

 讨论：① 假设a在D点时的速度0，即 l = 5r …………………………（1分）

            要使a、b能够发生碰撞，则l < 5r……………………………………（2分）

          ② 假设物块a滑上圆弧轨道又返回，最终停在水平轨道上P点，物块b在水平轨道上匀减速

滑至P点也恰好停止，设，则，根据能量守恒，

          对a物块      …………………………………………（1分）

          对b物块     ………………………………………（1分）

          由以上两式解得               ………………………………………（1分）

          将代入 

      解得   ……………………………………………………………………（1分）

          要使a、b只发生一次碰撞，则…………………………………………（1分）

     综上所述，当时，a、b两物块能且只能发生一次碰撞………………（1分）