Question

（2008?丰台区一模）如图所示，光滑的圆弧轨道AB、EF，半径AO、O′F均为R且水平．质量为m、长度也为R的小车静止在光滑水平面CD上，小车上表面与轨道AB、EF的末端B、E相切．一质量为m的物体（可视为质点）从轨道AB的A点由静止下滑，由末端B滑上小车，小车立即向右运动．当小车右端与壁DE刚接触时，物体m恰好滑动到小车右端且相对于小车静止，同时小车与壁DE相碰后立即停止运动但不粘连，物体继续运动滑上圆弧轨道EF，以后又滑下来冲上小车．求：

（1）水平面CD的长度和物体m滑上轨道EF的最高点相对于E点的高度h；
（2）当物体再从轨道EF滑下并滑上小车后，小车立即向左运动．如果小车与壁BC相碰后速度也立即变为零，最后物体m停在小车上的Q点，则Q点距小车右端多远？

Answer 1

分析：（1）设物体从A滑至B点时速度为v₀，在m与小车相互作用过程中，系统动量守恒，分别以物体和小车作为研究对象，根据机械能守恒联立方程即可求解；
（2）物体从CD滑下后与小车达到相对静止，有共同速度，结合动能定理对小车和物体分析，分别求出物体相对小车的位移和小车滑行的位移．从而得出Q点距小车右端的距离．

解答：解：
（1）设物体从A滑至B点时速度为v₀，根据机械能守恒有：mgR=

1

2

mv

2 0

由已知，m与小车相互作用过程中，系统动量守恒
mv₀=2mv₁                                                             
设二者之间摩擦力为f，
以物体为研究对象：-f?sCD=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

以车为研究对象：f(sCD-R)=

1

2

m

v

2 1

解得：sCD=

3

2

R
车与ED相碰后，m以速度v₁冲上EF

1

2

mv

2 1

=mgh
解得：h=

R

4

（2）由第（1）问可求得  f=

1

2

mgv1=

gR 2

由能量守恒：mgR＞fR+fx
mgR＞

1

2

mgR+

1

2

mgx
解得  x＜R       所以物体不能再滑上AB                                 
即在车与BC相碰之前，车与物体会达到相对静止，设它们再次达到共同速度为v₂：
则有：mv₁=2mv₂                                                       
相对静止前，物体相对车滑行距离s₁
fs1=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

×2m

v

2 2

s1=

1

4

R
车停止后，物体将做匀减速运动，相对车滑行距离s₂
a=

f

m

2as₂=v₂²                                                              
s2=

1

8

R
物体最后距车右端：
s总=s1+s2=

3

8

R
答：（1）水平面CD的长度和物体m滑上轨道EF的最高点相对于E点的高度h为

R

4

；
（2）Q点距小车右端的距离为

3

8

R

点评：本题综合考查了动能定理、机械能守恒定律以及能量守恒定律，关键是理清运动的规程，选择合适的规律进行求解．