Question

12．如图，一个质量为m=0.6kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，已知圆弧的半径R=0.3m，θ=60°，小球到达A点时的速度 v=4m/s．运动过程中不计空气阻力，g取10m/s²，求：
（1）小球做平抛运动的初速度v₀；
（2）P点与A点的水平距离和竖直高度；
（3）小球到达圆弧最高点C时对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，说明到到A点的速度v_A方向与水平方向的夹角为θ，这样可以求出初速度v₀；
（2）平抛运动水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，根据平抛运动的基本规律求出P点与A点的水平距离和竖直距离；
（3）由向心力公式可求得压力大小．

解答 解：（1）小球恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，则小球到A点的速度与水平方向的夹角为θ，所以：
 v₀=v_x=v_Acosθ=4×0.5m/s=2m/s
（2）v_y=v_Asinθ=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$m/s=2$\sqrt{3}$m/s
由平抛运动的规律得：x=v₀t，v_y=gt，${{v}_{y}}^{2}$=2gh
带入数据，解得：h=0.6m，x=0.69m．
（3）取A点为重力势能的零点，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+mg（R+Rcosθ）$
代入数据得：${v}_{C}=\sqrt{7}m/s$
由圆周运动向心力公式得：${N}_{C}+mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
代入数据得：N_C=8N
由牛顿第三定律得：小球对轨道的压力大小N_C′=N_C=8N，方向竖直向上
答：（1）小球做平抛运动的初速度为2m/s；
（2）P点与A点的水平距离为0.69m，竖直高度为0.6m；
（3）小球到达圆弧最高点C时，对轨道的压力为8N，方向竖直向上．

点评 本题是动量守恒定律、平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用动量守恒定律、平抛运动和圆周运动的基本公式外，求速度的问题，动能定理不失为一种好的方法．