Question

18．如图甲所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．匀强磁场分为Ⅰ、Ⅱ两个区域，其边界为MN、PQ，磁感应强度大小均为B，方向如图所示，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域的高度足够大．一个质量为m、电量为q的带正电的小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入电、磁复合场后，恰能做匀速圆周运动．

（1）求电场强度E的大小；
（2）若带电小球运动一定时间后恰能回到O点，求带电小球释放时距MN的高度h；
（3）若带电小球从距MN的高度为3h的O′点由静止开始下落，为使带电小球运动一定时间后仍能回到O′点，需将磁场Ⅱ向下移动一定距离（如图乙所示），求磁场Ⅱ向下移动的距离y及小球从O′点释放到第一次回到O′点的运动时间T．

Answer 1

分析 （1）带电小球恰能做匀速圆周运动，则小球所受重力与电场力相等，由此可以求出电场强度．
（2）小求组在混合场中做匀速圆周运动，速率不变，只有小球从进入磁场的位置离开磁场，然后做竖直上抛运动，才有可能回到出发点，由动能定理、牛顿第二定律可以求出释放点的高度．
（3）作出粒子的运动轨迹，作用动能定理、牛顿第二定律、运动学公式，分别求出各阶段的运动时间，然后求出粒子运动的总时间．

解答 解：（1）小球做匀速圆周运动，则mg=qE，电场强度为：E=$\frac{mg}{q}$；
（2）小球从进入磁场的位置离开磁场，才可能回到出发点，小球运动轨迹如图所示；由几何知识得：轨道半径为：R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d，
小球下落过程中，由动能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²-0，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：h=$\frac{2{d}^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3g{m}^{2}}$；
（3）当带电小球从距MN距离为3h处由静止下落时：
运动轨迹如图所示，由几何知识可得：R₁=2d，
由动能定理得：mg•3h=$\overline{12}$mv₁²-0，
由牛顿第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，
粒子在中间运动运动过程中，粒子速度方向与竖直方向成30度角，由几何知识可得：
y=（6-2$\sqrt{3}$）d，
粒子自由落体与竖直上升的总时间为：t₁=2$\sqrt{\frac{2×3h}{g}}$=4$\frac{dqB}{mg}$，
粒子做圆周运动的时间为：t₂=$\frac{5πm}{3qB}$，
粒子做运动运动的总时间为：t₃=2$\frac{2（4\sqrt{3}-4）d}{{v}_{1}}$，
一个来回的总时间为：T=t₁+t₂+t₃=$\frac{4dqB}{mg}$+$\frac{5πm}{3qB}$+$\frac{4（\sqrt{3}-1）m}{qB}$；
答：（1）电场强度为$\frac{mg}{q}$；
（2）小球释放时距MN的高度为$\frac{2{d}^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3g{m}^{2}}$；
（3）磁场Ⅱ向下移动的距离y为：（6-2$\sqrt{3}$）d，带电粒子的运动时间为$\frac{4dqB}{mg}$+$\frac{5πm}{3qB}$+$\frac{4（\sqrt{3}-1）m}{qB}$．

点评 本题是一道难题，分析清楚粒子的运动过程、作出粒子运动轨迹，熟练应用动能定律、牛顿第二定律、数学知识即可正确解题．