Question

宇航员在地球表面以某一初速度竖直上抛一小球，小球经过时间t落回原处；若他在某一星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，小球需经过5t落回原处．已知该星球的半径r与地球的半径R之比为1：4．取地球表面重力加速度g=10m/s²，空气阻力不计．求：
（1）该星球表面附近的重力加速度g′；
（2）星球的质量M_星与地球质量M_地之比．

Answer 1

分析：（1）竖直上抛运动返回地面时的速度和抛出时的速度大小相等，方向相反，根据匀变速直线运动的规律得出加速度之比，从而得出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于重力求出星球的质量M_星与地球质量M_地之比．

解答：解：（1）设竖直上抛小球初速度为v，落回原处时的速度大小为v′，星球表面重力加速度为g′，根据题意知返回地面的速度与抛出时的速度大小相等，方向相反．
地球表面：t=

-v′-v

-g

星球表面：5t=

-v′-v

-g′

联解各式得：g'=2m/s²
（2）小球在地球或星球表面附近受到的万有引力等于小球重力，得：
星球表面附近：

GM星m

r2

=mg′
地球表面附近：

GM地m

R2

=mg
由题得：

r

R

=

1

4

联解各式得：

M星

M地

=

1

80

答：（1）该星球表面附近的重力加速度g′=2m/s²
（2）星球的质量M_星与地球质量M_地之比1：80．

点评：解决本题的关键掌握万有引力等于重力G

Mm

R2

=mg，会根据重力加速度之比求出天体的质量之比．