Question

如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，自然长度l₀=0.50m，上面连接一个质量m₁=1.0kg的物体A，平衡时物体距地面h₁=0.40m，此时弹簧的弹性势能E_P=0.50J．在距物体A正上方高为h=0.45m处有一个质量m₂=1.0kg的物体B自由下落后，与弹簧上面的物体A碰撞并立即以相同的速度运动，已知两物体不粘连，且可视为质点．g=10m/s²．求：
（1）碰撞结束瞬间两物体的速度大小；
（2）两物体一起运动第一次具有竖直向上最大速度时弹簧的长度；
（3）两物体第一次分离时物体B的速度大小．

Answer 1

分析：（1）根据速度位移公式求出碰撞前B的速度大小，根据动量守恒定律求出碰撞结束瞬间两物体的速度大小．
（2）根据胡克定律，通过开始时A受重力和弹力平衡求出劲度系数，当弹簧弹力与两物体总重力相等时，速度最大，根据胡克定律求出弹簧的形变量，从而求出弹簧的长度．
（3）两物体向上运动过程中在弹簧达到原长时分离，从碰后到分离的过程，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，根据系统机械能守恒求出两物体第一次分离时物体B的速度大小．

解答：解：（1）设物体B自由下落与物体A相碰时的速度为v₀，则
v02=2gh
解得：v₀=3.0m/s
设A与B碰撞结束瞬间的速度为v₁，根据动量守恒定律
m₂ v₀=（m₁+m₂）v₁，
解得：v₁=1.5 m/s，
（2）设物体A静止在弹簧上端时弹簧的压缩量为x₁，
x₁=l₀-h₁=0.10m
设弹簧劲度系数为k，根据胡克定律有
m₁g=kx₁
解得：k=100N/m
两物体向上运动过程中，弹簧弹力等于两物体总重力时具有最大速度，
设此时弹簧的压缩量为x₂，则
（m₁+m₂）g=kx₂，
解得：x₂=0.20m，
设此时弹簧的长度为l，则
l=l₀-x₂
解得：l=0.30m
（3）两物体向上运动过程中在弹簧达到原长时分离，
从碰后到分离的过程，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，

1

2

(m1+m2)v12+Ep=(m1+m2)g(l0-h1)+

1

2

(m1+m2)v22
解得：v₂=

3

2

 m/s=0.87 m/s．
答：（1）碰撞结束瞬间两物体的速度大小为1.5m/s．
（2）两物体一起运动第一次具有竖直向上最大速度时弹簧的长度为0.30m．
（3）两物体第一次分离时物体B的速度大小为0.87m/s．

点评：本题综合考查了胡克定律、共点力平衡，机械能守恒定律、动量守恒定律等，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这类题型的训练．