Question

13．有人设计了一种可测速的机械式跑步，测速原理如图所示，该机底面固定有间距为L=1.0m，长度为d的平行金属电极．电极间充满磁感应强度为B=0.50T、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且接有电压表和阻值为R=0.40Ω的电阻．绝缘橡胶带上嵌有间距为d的平行细金属条，磁场中始终仅有一根金属条，且与电极接触良好．金属条电阻为r=0.10Ω，已知橡胶带所受的等效水平阻力为f=10.0N．设人在跑动时对橡胶带做功的功率恒定，在开关打开时，某人在上面跑动，当橡胶带的速度达到匀速时，电压表的读数为U₀=2.00V，求：
（1）橡胶带此时运行的速率；
（2）若此时再将开关闭合，请问电压表的读数最终是多少？（人始终在橡胶带上跑动）
（3）证明在上述过程中，克服安培力所做的功等于电路中所消耗的电能；
（4）在开关闭合，电压表读数稳定后的某时刻，跑步机显示人的跑动里程是s=420m，跑步的时间是t=120s，已知橡胶带与金属条的总质量是m=5.0kg，不计由橡胶带带动的轮子的质量．求t时间内电阻R上产生的热量．

Answer 1

分析 （1）根据导体切割磁感应线产生的感应电动势计算公式求解速度大小；
（2）根据平衡条件结合功率与速度关系、安培力的计算公式、闭合电路的欧姆定律求解；
（3）根据P₁=F_安v计算克服安培力做功功率，电路中消耗的功率为P=EI，由此证明克服安培力所做的功等于电路中所消耗的电能；
（4）根据能量关系Pt=fs+$\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$求解产生的总热量，再根据焦耳定律得到电阻R上产生的热量．

解答 解：（1）设电动势为E，橡胶带运动速率为v，由导体切割磁感应线产生的感应电动势计算公式可得：
U₀=E=BLv₀，
代入数据解得：v₀=4.0m/s；
（2）若此时开关闭合，电路接通，金属条会受到安培力的作用，最终当人对橡胶带的水平作用力与安培力和阻力之和平衡时，电压表的读数不再变化，设匀速运动的速度为v；
根据平衡条件可得：F=f+BIL，
而F=$\frac{P}{v}=\frac{f{v}_{0}}{v}$=$\frac{f{U}_{0}}{BLv}$，
安培力为：BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
所以有：$\frac{f{U}_{0}}{BLv}$=f+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
代入数据解得：v=3.42m/s，
由于E=BLv，
根据闭合电路的欧姆定律可得：U=$\frac{E}{R+r}R$=1.37V；
（3）设某时刻的瞬时速度为v，则安培力的瞬时功率为：
P₁=F_安v=BILv=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，
与瞬时速度v对应的感应电动势为：
E=BLv，
则电流强度为：
I=$\frac{BLv}{R+r}$，
电路中消耗的功率为：
P=EI=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，
任意时刻两者的功率相等，则任意时间内安培力做的功等于电路中消耗的电能；
（4）根据能量关系可得：Pt=fs+$\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$，
代入数据解得：Q=571J，
则电阻R上产生的热量为：
Q_R=$\frac{R}{R+r}Q=457J$．
答：（1）橡胶带此时运行的速率为4.0m/s；
（2）若此时再将开关闭合，电压表的读数最终是1.37V；
（3）证明见解析；
（4）t时间内电阻R上产生的热量为457J．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．