Question

15．嘉年华上有一种回力球游戏，如图所示，A、B分别为一固定在竖直平面内的光滑半圆形轨道的最高点和最低点，B点距水平地面的高度为h，某人在水平地面C点处以某一初速度抛出一个质量为 m的小球，小球恰好水平进入半圆轨道内侧的最低点B，并恰好能过最高点A后水平抛出，又恰好回到C点抛球人手中．若不计空气阻力，已知当地重力加速度为g，求：
（1）小球刚进入半圆形轨道最低点B时轨道对小球的支持力；
（2）半圆形轨道的半径；
（3）小球抛出时的初速度大小．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能通过最高点A，根据牛顿第二定律求出在A点的速度，根据动能定理求出B点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小．
（2）C到B的逆过程为平抛运动，根据高度求出平抛运动的时间，抓住A到C和C到B的水平位移相等，求出半圆形轨道的半径．
（3）对C到B的过程运用动能定理，求出抛出时的初速度大小．

解答 解：（1）设半圆形轨道的半径为R，小球经过A点时的速度为v_A，小球经过B点时的速度为v_B，小球经过B点时轨道对小球的支持力为N．
在A点：mg=$m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{A}=\sqrt{gR}$，
从B点到A点的过程中，根据动能定理有：$-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}$．
在B点：N-mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得：N=6mg，方向为竖直向上．
（2）C到B的逆过程为平抛运动，有：h=$\frac{1}{2}g{{t}_{BC}}^{2}$，
A到C的过程，有：$h+2R=\frac{1}{2}g{{t}_{AC}}^{2}$，
又v_Bt_BC=v_At_AC，
解得：R=2h．
（3）设小球抛出时的初速度大小为v₀，从C到B的过程中，根据动能定理有：
$-mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{12gh}$．
答：（1）小球刚进入半圆形轨道最低点B时轨道对小球的支持力为6mg；
（2）半圆形轨道的半径为2h；
（3）小球抛出时的初速度大小为$\sqrt{12gh}$．

点评 本题考查了动能定理、牛顿定律与平抛运动和圆周运动的综合运用，知道圆周运动向心力的来源以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．