Question

20．如图，绝缘轨道的斜面部分倾角为θ=45°，O处由一段小弧平滑连接．点O的右侧空间存在着竖直向上的匀强电场，在OF之间存在垂直纸面向里的匀强电场，在F右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q的绝缘小球从光滑轨道的A点无初速度释放，经过O点后恰好能从G点（GD两点在同一水平线上）射出．已知电场强度E=$\frac{mg}{q}$，左右两侧磁场的磁感强度大小均为B，DE为一处于场中的竖直挡板，OF=FC=CD=DE=L，求：
（1）小球开始释放的高度是多少？
（2）要使小球打在DE挡板上，则小球m在斜面上离O点的多大范围内静止释放．

Answer 1

分析 （1）根据题求出小球在磁场中做圆周运动的轨道半径，由牛顿第二定律求出小球做圆周运动的速度，然后由机械能守恒定律求出小球释放点的高度．
（2）应用牛顿第二定律与机械能守恒定律求出小球释放点的两个临界高度，然后求出释放点到O点的临界距离，然后确定距离范围．

解答 解：（1）小球在电磁场中受到竖直向下的重力mg，竖直向上的电场力：qE=mg，
重力与电场力合力为零，则小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，
小球恰好能从G点射出磁场，则小球做圆周运动的轨道半径：r₁=$\frac{L}{2}$，
由牛顿第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
小球从A到O过程，由机械能守恒定律得：mgh₁=$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：h₁=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}^{2}g}$；
（2）①如果小球打在E点，则小球做圆周运动的轨道半径：r=L，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
小球凑个释放到O点过程，由机械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：h=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{2{m}^{2}g}$；
②如果小球打在D点，由几何知识得：r′²=L²+（r$′-\frac{L}{2}$）²，
由牛顿第二定律得：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$，
小球凑个释放到O点过程，由机械能守恒定律得：mgh′=$\frac{1}{2}$mv′²，
解得：h′=$\frac{25{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{32{m}^{2}g}$；
释放点距O点的距离：x=$\frac{h}{sin45°}$=$\sqrt{2}$h，
则释放点到O点的距离：$\frac{\sqrt{2}{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{2{m}^{2}g}$≤x≤$\frac{25\sqrt{2}{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{32{m}^{2}g}$
答：（1）小球开始释放的高度是：$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}^{2}g}$；
（2）要使小球打在DE挡板上，小球m在斜面上离O点的多大范围是：$\frac{\sqrt{2}{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{2{m}^{2}g}$≤x≤$\frac{25\sqrt{2}{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{32{m}^{2}g}$．

点评 本题考查了带电小球在复合场中的运动，分析清楚小球的运动过程是正确解题的关键，分析清楚小球的受力情况是正确解题的前提，应用牛顿第二定律与机械能守恒定律可以解题，解题时要注意几何知识的应用．