Question

3．在平直轨道上，自行车在汽车前面相距x处以v₁=4m/s的速度匀速行驶，汽车则以v₂=12m/s的初速度、加速度大小a=2m/s²做匀减速运动．
（1）若汽车恰好未追上自行车，则x的大小为多大？
（2）若x=7m，则汽车能追上自行车吗？若能追上，需要多少时间？若后来自行车反过来追上汽车．此时相对汽车的速度为多大？

Answer 1

分析 （1）汽车恰好未追上自行车，计算出汽车减速到和自行车共速的时间，分别求出两车的位移，两车的位移差就两车最初的距离x．
（2）若x=7m，将结果和（1）比较，即可判断汽车能否追上自行车，列出方程，可以求出追上的时间；若后来自行车反过来追上汽车，先判断汽车何时停下，计算出两车的位移，判断出汽车停下时，自行车是否追上了汽车，再分析此时相对汽车的速度．

解答 解：（1）汽车减速时的加速度a=-2m/s²，减速到v₁=4m/s所用时间为：
t=$\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{a}=\frac{4-12}{-2}s=4s$
这段时间汽车行驶的位移为：x₂=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}t=\frac{4+12}{2}×4m=32m$
这段时间自行车行驶的位移为：x=v₁t=4×4m=16m
故有：x=x₂-x₁=32m-16m=16m；
（2）若x=7m，小于16m，因此汽车能追上自行车；假设t₁时间追上，则有：
${v}_{1}{t}_{1}+x={v}_{2}{t}_{1}+\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
解得：t₁=1s（另一值7s不符合要求舍去）
汽车追上自行车时，汽车的速度为：
v₃=v₂+at₁=12-2×1=10m/s
若后来自行车反过来追上汽车，则再经过时间t₂汽车停下来，即：0=v₃+at₂
解得：t₂=5s
t₂时间内，汽车运动的位移为：x₃=$\frac{{v}_{3}}{2}{t}_{2}=\frac{10}{2}×5m=25m$
t₂时间内，自行车运动的位移为：x₄=v₁t₂=4×5m=20m
由于x₄＜x₃，即汽车停下时，自行车还没有追上汽车
因此后来自行车反过来追上汽车时，此时相对汽车的速度为：v₁=4m/s．
答：（1）若汽车恰好未追上自行车，则x的大小为16m．
（2）若x=7m，则汽车能追上自行车，若能追上，需要1s的时间，若后来自行车反过来追上汽车．此时相对汽车的速度4m/s．

点评 本题难度较大，而且比较容易出错，第（1）问要注意：汽车恰好未追上自行车，计算两车距离x时，不是汽车减速到0时，两车的位移差，而是汽车减速到和自行车共速时两者的位移差，因为速度相同还不能追上，那么汽车继续减速就永远追不上自行车．第（2）问计算自行车反过来追上汽车，一定要先考虑汽车何时停下，切不可直接列方程，解出再经过6s自行车追上汽车，这是错误的结论，因为再经过5s汽车就已经停下来了．