Question

如图所示，间距为L、半径为R₀的内壁光滑的

1

4

圆弧固定轨道，右端通过导线接有阻值为R的电阻，圆弧轨道处于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B．质量为m、电阻为r、长度也为L的金属棒，从与圆心等高的ab处由静止开始下滑，到达底端cd时，对轨道的压力恰好等于金属棒的重力2倍，不计导轨和导线的电阻，空气阻力忽略不计，重力加速度为g．求：
（1）金属棒到达底端时，电阻R两端的电压U多大；
（2）金属棒从ab处由静止开始下滑，到达底端cd的过程中，通过电阻R的电量q；
（3）用外力将金属棒以恒定的速率v从轨道的低端cd拉回与圆心等高的ab处的过程中，电阻R产生的热量Q．

Answer 1

分析：（1）由于已知在cd位置对轨道压力为重力的两倍，由向心力表达式可以得到此时的速度，进而可得此时的感应电动势E=BLv，由欧姆定律可得电阻R两端的电压．
（2）金属棒从ab处由静止开始下滑，到达底端cd的过程中，通过电阻的电量应该有电流平均值来求，可先由法拉第电磁感应定律求得此过程中产生的平均感应电动势，进而可得平均电流，通过R点电荷量即为q=

.

I

t．
（3）由于导体棒的速率是定值，金属棒垂直于磁场方向的速度可表示为v_x=vcosα，金属棒切割产生的电动势为：E=BLv_x，可知感应电动势有效值为

BLv

2

，进一步可得电流有效值，由Q=I²Rt可求产生的热量．

解答：解：（1）金属棒滑到轨道最低点时，由圆周运动：
N-mg=m

v2

R0

…①
根据题意：
N=2mg…②
金属棒切割磁感线产生的感应电动势为：
E=BLv…③
金属棒产生的感应电流为：
I=

E

R+r

…④
电阻R两端的电压为：
U=IR…⑤
由①②③④⑤解得：
U=

BLR gR0

R+r

…⑥
（2）金属棒从ab处由静止开始下滑，到达底端cd的过程中，通过电阻R的电量为：
q=

.

I

t
由欧姆定律有：

.

I

=

. E

R+r

根据法拉第电场感应定律：

.

E

=N

△?

△t

=

BLR0

t

由以上三式得：
q=

BLR0

R+r

（3）金属棒以恒定的速率v从轨道的底端cd拉回与圆心等高的ab处的过程中，金属棒垂直于磁场方向的速度为：
v_x=vcosα
金属棒切割产生的电动势为：
E=BLv_x
感应电动势有效值为：
E=

BLv

2

电路中的电流有效值为：
I=

E

R+r

=

BLv

2 (R+r)

金属棒运动的时间为：
t=

1 4 ?2πR0

v

金属棒产生的热量为：
Q=I2Rt=(

BLv

2 (R+r)

)2?R?

1 4 ?2πR0

v

=

B2L2vπRR0

4(R+r)2

答：（1）金属棒到达底端时，电阻R两端的电压为U=

BLR gR0

R+r

；
（2）金属棒从ab处由静止开始下滑，到达底端cd的过程中，通过电阻R的电量为q=

BLR0

R+r

；
（3）用外力将金属棒以恒定的速率v从轨道的低端cd拉回与圆心等高的ab处的过程中，电阻R产生的热量为Q=

B2L2vπRR0

4(R+r)2

．

点评：本题综合性较强，突出的重点在于第3问，要求电阻产生的热量，由于做功的外力一定是变力，故无法表示其做功的多少，也就无法由能量守恒，或动能定理等思路来做，而往往人都会朝这个思路走．这里的决定因素在于交流电有效值的应用，这个植入应用使得这个题称为难度较大的压轴题．