Question

如图所示，固定光滑圆弧轨道AB，半径为R=0.8m，末端水平。水平面上质量为m₁=2kg、高H=0.4m的方凳紧靠在圆弧AB的末端，方凳上表面与圆弧相切。现有一个质量为m₂=2kg的滑块（视为质点）从A端由静止沿圆弧下滑，在B点滑上方凳，经过一段时间后从方凳右端滑落。已知：方凳与地面、滑块与凳面间的动摩擦因数分别为μ₁=0.2、μ₂=0.5；方凳从开始运动到停止运动，在水平面上运动的位移x=27cm。（取g=10m/s²）求：  
（1）滑块滑上方凳时的速度；  
（2）滑块与方凳分离时，方凳的速度；  
（3）滑块刚落地时，滑块与方凳右端之间的距离（结果保留三位有效数字）。

Answer 1

解：（1）滑块从A滑到B的过程，机械能守恒，设滑块滑到B的速度v₀        
  
解得：v₀ =4m/s
（2）方凳由静止开始做匀加速直线运动，直至滑块从其右端滑落，设此段位移为x₁₁；然后做匀减速直线运动直至停止，设此段位移为x₁₂，中间最大速度为v₁
依据动能定理：μ₂m₂g x₁₁-μ₁（m₁+ m₂）g x₁₁＝m₁v₁²
-μ₁m₁g x₁₂＝－m₁v₁²              
x₁₁+ x₁₂＝x              
解得：v₁=0.6m/s，x₁₁＝0.18m，x₁₂＝0.09m
（3） 设滑块在凳面运动的时间为t₁，滑块从其右端滑落时的速度为v₂    
对方凳：v₁=a₁t₁                  
μ₂m₂g -μ₁（m₁+ m₂）g ＝m₁a₁      
对滑块：v₀-v₂=a₂t₁
μ₂m₂g ＝m₂a₂
解得：v₂=1m/s          
滑块从凳面滑落后做平抛运动，设时间为t₂，水平位移为x₂          
则有：，
滑块落地后木块继续滑行（0.3－t₂）s，设位移为x₁₃，加速度为a₃
a₃=μ₁g，x₁₃＝a₃（0.3－t₂）²
木凳不能撞到物块，则滑块与方桌右端之间的距离 x ＝x₂+ x₁₃- x₁₂＝0.193m