Question

【题目】如图所示,在平面坐标系xOy的第一象限内有一半圆形区域,其半径为R,半圆的一条直径与x轴重合, O为该直径的一个端点。半圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场,半圆外存在垂直纸面向外的匀强磁场,半圆内外磁场的磁感应强度大小都为B0,在坐标原点O处有一粒子源,沿x轴正方向不断发射出质量为m、带电荷量为+q的粒子,粒子的发射速度为大于零的任意值(不考虑相对论效应)。已知半圆形边界处存在特殊物质,当粒子由半圆内向半圆外运动时,粒子不受任何影响,但当粒子由半圆外向半圆内运动时,粒子就会被边界处的特殊物质吸收。不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。

(1)求从O点发射的所有粒子中,不会从y轴正半轴射入第二象限的粒子的速度的取值范围; (已知:)

(2)证明最终打在半圆形边界且被特殊物质吸收的粒子,在磁场中运动的总时间都相等,并且求出该时间;

(3)若第一象限内半圆形外区域的磁场存在一上边界y=a ,要想使所有粒子都不会从磁场上边界射出,则a至少为多大。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)2R

【解析】

（1）分析不进入第二象限的条件，然后根据几何关系及洛伦兹力作向心力来求解速度范围；

（2）画出打在半圆形边界的图，然后根据几何关系求得粒子运动的中心角，再根据粒子做圆周运动的周期求解时间；

（3）分析粒子运动轨迹，将粒子运动的最高点用半圆半径表示出来，即可求得a的最小值．

（1）如图甲所示；

当粒子在半圆外做圆周运动恰好与y轴相切时，此时粒子的速度为最小值，设带电粒子在磁场内做匀速圆周 运动的轨道半径为r，轨迹圆心O2与半圆圆心O1连线与x轴之间的夹角为θ，由几何关系可知

两式联立可得:θ=15°, r=Rtan15°

又

得

所以不会从y 轴正半轴射入第二象限的粒子的速度的取值范围为

（2）如图乙所示做出某一速度粒子的轨迹，最终打在半圆边界，

由几何关系可知: θ1+ θ2=360°

所以带电粒子在磁场中运动的总时间为

（3）如图丙所示做出某一速度粒子的轨迹,设其最高点为P,轨迹圆心O2与半圆圆心O1连线与x轴之间的夹角为θ，由几何关系可得P距x轴的距离（也就是P点的纵坐标）为y

又因为

两式联立可得

当θ=45°时，x取到最大值ymax=2R

所以想使所有粒子都不会从磁场上边界射出，a的最大值为amax=2R