Question

12．如图所示，质量为m的小球置于正方体的质量为M的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计．
（1）要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，盒子做圆周运动的角速度多大？
（2）设小球在最高点对盒子的压力为F₁．在最低点对盒子的压力为F₂，试作出（F₂-F₁）-ω²图象．
（3）盒子运动到与圆心等高的位置时，这位同学对盒子的作用力多大？

Answer 1

分析 （1）在最高点，盒子与小球之间无作用力，知小球靠重力提供向心力，结合牛顿第二定律求出角速度的大小；
（2）分别在最低点和最高点，根据牛顿第二定律列式求解F₁和F₂，进而求出（F₂-F₁），从而画出（F₂-F₁）-ω²图象；
（3）当盒子运动到与圆心等高的位置时，这位同学对盒子作用力的水平分力F′提供向心力，竖直分力F″与重力平衡，据此列式求解．

解答 解：（1）要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，由重力提供向心力，则有mg=mRω² 
解得：ω=$\sqrt{\frac{g}{R}}$
（2）当ω≤$\sqrt{\frac{g}{R}}$时，
${F}_{2}-mg=m{ω}^{2}R$，
mg-F₁=mω²R
解得：F₂-F₁=2mRω²
当ω＞$\sqrt{\frac{g}{R}}$时，${F}_{2}-mg=m{ω}^{2}R$，
${F}_{1}+mg=m{ω}^{2}R$
解得F₂-F₁=2mg 
则（F₂-F₁）-ω²图象如图所示：

（3）当盒子运动到与圆心等高的位置时，这位同学对盒子作用力的水平分力F′提供向心力，竖直分力F″与重力平衡，即 
F′=（M+m）Rω²，F″=（M+m）g 
则该同学对盒子的作用力为F=$\sqrt{F{′}^{2}+F{″}^{2}}=（m+M）\sqrt{{R}^{2}{ω}^{4}+{g}^{2}}$
答：（1）要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，盒子做圆周运动的角速度为$\sqrt{\frac{g}{R}}$；
（2）（F₂-F₁）-ω²图象如图所示．
（3）盒子运动到与圆心等高的位置时，这位同学对盒子的作用力为$（m+M）\sqrt{{R}^{2}{ω}^{4}+{g}^{2}}$．

点评 解决本题的关键知道小球在最高点和最低点的向心力来源，结合牛顿第二定律进行求解，难度适中．