Question

18．如图所示，AB是水平的光滑轨道，BC是与AB相切的位于竖直平面内、半径为R=0.4m的半圆形光滑轨道．两小球M、N质量均为m，其间有压缩的轻短弹簧，整体锁定静止在轨道AB上（小球M、N均与弹簧端接触但不拴接）．某时刻解除锁定，两小球M、N被弹开，此后球N恰能沿半圆形轨道通过其最高点C．已知M、N的质量分别为m_M=0.1kg、m_N=0.2kg，g取10m/s²，小球可视为质点．求：
（1）球N到达半圆形轨道最高点C时的速度大小；
（2）刚过半圆形轨道最低点B时，轨道对球N视为支持力大小；
（3）解除锁定钱，弹簧具有的弹性势能．

Answer 1

分析 （1）球N恰能沿半圆形轨道通过其最高点C，由重力充当向心力，由此列式求出球N到达半圆形轨道最高点C时的速度．
（2）球N由B到C的过程中，只有重力做功，其机械能守恒，由机械能守恒定律求出球N刚过半圆形轨道最低点B时的速度，再由牛顿第二定律和向心力公式结合求轨道对球N的支持力．
（3）对于弹簧释放两球的过程，运用动量守恒定律和能量守恒定律结合求解除锁定前弹簧具有的弹性势能．

解答 解：（1）设弹簧弹开后M、N的速度分别为v₁和v₂．球N在C点的速度为v_C，球N在最高点C时，由重力提供向心力，所以有：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入数据解得：v_C=2m/s
（2）球N由B到C的过程中，只有重力做功，其机械能守恒，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+2mgR
在B点，由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
联立解得轨道对球N的支持力为：F=12N
（3）对于弹簧释放两球的过程，取水平向右为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律得：
mv₂-mv₁=0
E_p=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$mv₁²．
联立解得解除锁定前弹簧具有的弹性势能为：E_p=6J
答：（1）球N到达半圆形轨道最高点C时的速度大小是2m/s；
（2）刚过半圆形轨道最低点B时，轨道对球N的支持力大小是12N；
（3）解除锁定前，弹簧具有的弹性势能是6J．

点评 本题要注意分析球N的运动过程，把握圆周运动向心力的来源：指向圆心的合力．知道弹簧解除锁定时遵守动量守恒定律和机械能守恒定律．